Heron (Ulu) alan formülü nedir Test 1

Bir üçgenin kenar uzunlukları 13 cm, 14 cm ve 15 cm'dir. Bu üçgenin alanı kaç cm²'dir?

A) 84
B) 91
C) 96
D) 104

Merhaba sevgili öğrenciler! Bir üçgenin kenar uzunlukları verildiğinde alanını bulmak için kullanabileceğimiz çok pratik bir yöntem olan Heron Formülü'nü adım adım uygulayarak bu soruyu çözelim.

• 1. Adım: Üçgenin Yarı Çevresini (s) Bulalım.

Heron Formülü'nü kullanmadan önce, üçgenin yarı çevresini (çevresinin yarısı) bulmamız gerekir. Kenar uzunluklarımız $a=13$ cm, $b=14$ cm ve $c=15$ cm'dir.

Yarı çevre formülü: $s = \frac{a+b+c}{2}$

Değerleri yerine yazalım:

$s = \frac{13 + 14 + 15}{2}$

$s = \frac{42}{2}$

$s = 21$ cm

• 2. Adım: Heron Formülü'nü Uygulayalım.

Şimdi üçgenin alanını bulmak için Heron Formülü'nü kullanabiliriz. Heron Formülü şöyledir:

$Alan = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

Burada $s$ yarı çevre, $a, b, c$ ise kenar uzunluklarıdır. Bulduğumuz değerleri formülde yerine yazalım:

• Önce parantez içindeki ifadeleri hesaplayalım:
• $s-a = 21 - 13 = 8$
• $s-b = 21 - 14 = 7$
• $s-c = 21 - 15 = 6$

Şimdi bu değerleri Heron Formülü'ne yerleştirelim:

$Alan = \sqrt{21 \cdot (8) \cdot (7) \cdot (6)}$

$Alan = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}$

Çarpma işlemini kolaylaştırmak için sayıları asal çarpanlarına ayırabiliriz:

$21 = 3 \cdot 7$

$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$

$7 = 7$

$6 = 2 \cdot 3$

Şimdi bunları kök içine tekrar yazalım:

$Alan = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot (7) \cdot (2 \cdot 3)}$

Aynı asal çarpanları bir araya getirelim:

$Alan = \sqrt{2^3 \cdot 2^1 \cdot 3^1 \cdot 3^1 \cdot 7^1 \cdot 7^1}$

$Alan = \sqrt{2^{3+1} \cdot 3^{1+1} \cdot 7^{1+1}}$

$Alan = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2}$

Karekök dışına çıkarmak için üsleri ikiye bölelim:

$Alan = 2^{4/2} \cdot 3^{2/2} \cdot 7^{2/2}$

$Alan = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 7^1$

$Alan = 4 \cdot 3 \cdot 7$

$Alan = 12 \cdot 7$

$Alan = 84$ $cm^2$

Böylece üçgenin alanını $84$ $cm^2$ olarak bulduk.

Cevap A seçeneğidir.