Kenar uzunlukları 5 cm, 12 cm ve 13 cm olan bir üçgenin alanı ile kenar uzunlukları 6 cm, 8 cm ve 10 cm olan bir üçgenin alanının toplamı kaç cm²'dir?
A) 54
B) 60
C) 66
D) 72
Sevgili öğrenciler, bu soruda iki farklı üçgenin alanını bulup bu alanları toplamamız isteniyor. Üçgenlerin kenar uzunlukları verildiğinde, ilk yapmamız gereken bu üçgenlerin özel bir üçgen olup olmadığını, özellikle de dik üçgen olup olmadığını kontrol etmektir. Dik üçgenlerin alanını bulmak çok daha kolaydır.
- Birinci Üçgenin Alanını Bulma:
- Birinci üçgenin kenar uzunlukları 5 cm, 12 cm ve 13 cm'dir. Bu kenar uzunluklarının bir dik üçgen oluşturup oluşturmadığını Pisagor Teoremi ile kontrol edelim: $a^2 + b^2 = c^2$.
- En uzun kenar hipotenüs olacağından $c = 13$ cm'dir. Diğer kenarlar $a = 5$ cm ve $b = 12$ cm'dir.
- $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$.
- $13^2 = 169$.
- Gördüğümüz gibi $5^2 + 12^2 = 13^2$ eşitliği sağlanmaktadır. Bu, kenar uzunlukları 5 cm, 12 cm ve 13 cm olan üçgenin bir dik üçgen olduğu anlamına gelir.
- Dik üçgenin alanı, dik kenarların çarpımının yarısıdır. Yani, Alan = $ rac{1}{2} \times \text{dik kenar 1} \times \text{dik kenar 2}$.
- Birinci üçgenin alanı: Alan$_1 = rac{1}{2} \times 5 \times 12 = rac{60}{2} = 30$ cm².
- İkinci Üçgenin Alanını Bulma:
- İkinci üçgenin kenar uzunlukları 6 cm, 8 cm ve 10 cm'dir. Bu kenar uzunluklarının da bir dik üçgen oluşturup oluşturmadığını kontrol edelim.
- En uzun kenar $c = 10$ cm'dir. Diğer kenarlar $a = 6$ cm ve $b = 8$ cm'dir.
- $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.
- $10^2 = 100$.
- Burada da $6^2 + 8^2 = 10^2$ eşitliği sağlanmaktadır. Bu da kenar uzunlukları 6 cm, 8 cm ve 10 cm olan üçgenin bir dik üçgen olduğunu gösterir.
- İkinci üçgenin alanı: Alan$_2 = rac{1}{2} \times 6 \times 8 = rac{48}{2} = 24$ cm².
- İki Üçgenin Alanlarının Toplamı:
- Şimdi bulduğumuz iki alanı toplayalım.
- Toplam Alan = Alan$_1$ + Alan$_2 = 30$ cm² $+ 24$ cm² $= 54$ cm².
Böylece, iki üçgenin alanları toplamının 54 cm² olduğunu bulmuş olduk.
Cevap A seçeneğidir.
