Birim çemberde sinüs ve kosinüs eksenleri Test 2

Birim çemberde apsis eksenine (kosinüs ekseni) göre simetrik olan iki noktanın sinüs değerleri arasındaki ilişki nasıldır?

A) Eşittir
B) Toplamları 1'dir
C) Birbirinin negatifidir
D) Çarpımları 1'dir

Sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım inceleyerek birim çemberdeki simetri kavramını ve sinüs değerleri arasındaki ilişkiyi net bir şekilde anlayalım.

• Adım 1: Birim Çember ve Noktaların Koordinatları

  Birim çember, merkezi başlangıç noktası $(0,0)$ olan ve yarıçapı 1 birim olan bir çemberdir. Birim çember üzerindeki herhangi bir $P$ noktasının koordinatları $(\cos \theta, \sin \theta)$ olarak ifade edilir. Yani, bir noktanın x-koordinatı kosinüs değerini, y-koordinatı ise sinüs değerini verir. Bu durumda, bir noktanın sinüs değeri, o noktanın y-koordinatıdır.

• Adım 2: Apsis Ekseni (Kosinüs Ekseni) Nedir?

  Apsis ekseni, koordinat sistemindeki yatay eksen olan x-eksenidir. Trigonometride, birim çember üzerinde x-ekseni aynı zamanda kosinüs ekseni olarak da adlandırılır.

• Adım 3: Apsis Eksenine Göre Simetri Kavramı

  Bir noktanın apsis eksenine (x-eksenine) göre simetriği alındığında, noktanın x-koordinatı değişmezken, y-koordinatının işareti değişir. Örneğin, birim çember üzerinde bir $P_1$ noktası $(\cos \theta_1, \sin \theta_1)$ olsun. Bu noktanın apsis eksenine göre simetriği olan $P_2$ noktası $(\cos \theta_1, -\sin \theta_1)$ olacaktır. Yani, $P_1 = (x, y)$ ise, $P_2 = (x, -y)$ olur.

• Adım 4: Sinüs Değerleri Arasındaki İlişkiyi Belirleme

  Şimdi bu iki noktanın sinüs değerlerini inceleyelim:

  • $P_1$ noktasının sinüs değeri, y-koordinatı olan $\sin \theta_1$'dir.
  • $P_2$ noktasının sinüs değeri, y-koordinatı olan $-\sin \theta_1$'dir.

  Görüldüğü gibi, $P_1$ noktasının sinüs değeri ile $P_2$ noktasının sinüs değeri birbirinin işaret olarak tersidir. Yani, $\sin \theta_2 = -\sin \theta_1$ ilişkisi vardır.

Bu durumda, apsis eksenine göre simetrik olan iki noktanın sinüs değerleri birbirinin negatifidir.

Cevap C seçeneğidir.