11. sınıf trigonometri konu anlatımı Test 1

cos²15° - sin²15° ifadesinin değeri kaçtır?

A) 1/2
B) √2/2
C) √3/2
D) 1

Sevgili öğrenciler, bu soruda trigonometrik bir ifadeyi sadeleştirerek değerini bulmamız isteniyor. İfadeyi adım adım inceleyelim ve doğru trigonometrik özdeşliği kullanarak çözüme ulaşalım.

• Adım 1: Verilen İfadeyi İnceleyelim

• Bize verilen ifade şudur: $\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ$.

  Bu ifade, bir açının kosinüsünün karesi ile aynı açının sinüsünün karesinin farkını göstermektedir.

• Adım 2: Uygun Trigonometrik Özdeşliği Hatırlayalım

• Trigonometride çok önemli bir çift açı özdeşliği bulunmaktadır. Bu özdeşlik, kosinüsün çift açı formülüdür:

  $\cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$

  Bu özdeşlik, bir açının iki katının kosinüsünü, o açının kosinüs ve sinüs değerleri cinsinden ifade etmemizi sağlar.

• Adım 3: Özdeşliği İfadeye Uygulayalım

• Verilen ifadedeki açımız $\theta = 15^\circ$'dir. Özdeşliği bu açıya uyguladığımızda:

  $\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ = \cos(2 \times 15^\circ)$

• Adım 4: Açıyı Hesaplayalım

• Şimdi parantez içindeki açıyı hesaplayalım:

  $2 \times 15^\circ = 30^\circ$

  Böylece ifademiz $\cos 30^\circ$ haline gelir.

• Adım 5: $\cos 30^\circ$ Değerini Bulalım

• $30^\circ$ özel bir açıdır ve trigonometrik değerleri ezbere bilinmesi gereken değerlerdendir. Birim çemberden veya özel üçgenlerden hatırlayacağımız üzere:

  $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

• Adım 6: Sonucu Seçeneklerle Karşılaştıralım

• Bulduğumuz değer $\frac{\sqrt{3}}{2}$'dir. Seçeneklere baktığımızda bu değerin C seçeneğinde yer aldığını görüyoruz.

Cevap C seçeneğidir.