cos40°·cos20° - sin40°·sin20° ifadesinin değeri kaçtır?
A) 1/4Sevgili öğrenciler, bu soruyu çözmek için trigonometrik toplam-fark formüllerinden birini kullanacağız. İfadeyi dikkatlice inceleyelim:
Bize verilen ifade şudur: $ \cos40^\circ \cdot \cos20^\circ - \sin40^\circ \cdot \sin20^\circ $
Bu ifade, belirli bir trigonometrik özdeşliğe çok benziyor, değil mi? Amacımız, bu ifadeyi daha basit bir hale getirmek.
Trigonometride, iki açının toplamının kosinüsünü veren bir formülümüz var. Bu formül şöyledir:
$ \cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $
Bu formül, iki açının kosinüslerinin çarpımından, sinüslerinin çarpımının çıkarılması durumunda kullanılır. Bu formülü hatırlamak, soruyu çözmek için anahtarımız olacak.
Şimdi, verilen ifadeyi hatırladığımız formülle karşılaştıralım:
Verilen ifade: $ \cos40^\circ \cdot \cos20^\circ - \sin40^\circ \cdot \sin20^\circ $
Formül: $ \cos A \cos B - \sin A \sin B $
Görüyoruz ki, eğer $A = 40^\circ$ ve $B = 20^\circ$ alırsak, formülümüz tam olarak verilen ifadeye dönüşüyor.
Bu durumda, $ \cos40^\circ \cdot \cos20^\circ - \sin40^\circ \cdot \sin20^\circ $ ifadesini, $ \cos(40^\circ + 20^\circ) $ şeklinde yazabiliriz.
Şimdi parantez içindeki açıları toplayarak işlemi tamamlayalım:
$ 40^\circ + 20^\circ = 60^\circ $
Dolayısıyla, ifademiz $ \cos(60^\circ) $ haline gelir.
Trigonometrik birim çemberden veya özel üçgenlerden bildiğimiz üzere, $ \cos(60^\circ) $ değeri $ \frac{1}{2} $'dir.
Bu adımları takip ederek, $ \cos40^\circ \cdot \cos20^\circ - \sin40^\circ \cdot \sin20^\circ $ ifadesinin değerini $ \frac{1}{2} $ olarak buluruz.
Cevap B seçeneğidir.
