9. Sınıf Sayı Kümelerinin Arada Olma Özelliği Test 2

Ahmet, 2 ile 3 sayıları arasında bir irrasyonel sayı bulmak istiyor. Aşağıdakilerden hangisi bu aralıkta yer alan bir irrasyonel sayıdır?

A) $2.5$
B) $\frac{5}{2}$
C) $\sqrt{5}$
D) $2.\overline{6}$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, 2 ile 3 sayıları arasında yer alan bir irrasyonel sayı bulmamız isteniyor. Öncelikle "irrasyonel sayı" ne demek, onu hatırlayalım:

• Rasyonel sayılar: $\frac{a}{b}$ şeklinde yazılabilen sayılardır. Burada $a$ ve $b$ tam sayılar olup $b \neq 0$ olmalıdır. Ondalık gösterimleri ya sonludur ya da tekrar eden bir örüntüye sahiptir. Örneğin, $0.5 = \frac{1}{2}$, $0.\overline{3} = \frac{1}{3}$ gibi.
• İrrasyonel sayılar: $\frac{a}{b}$ şeklinde yazılamayan sayılardır. Ondalık gösterimleri sonsuzdur ve tekrar etmeyen bir örüntüye sahiptir. Örneğin, $\pi$ (Pi sayısı), $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ gibi sayılar irrasyoneldir.

Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:

• A) $2.5$
  • Bu sayı 2 ile 3 arasındadır.
  • $2.5$ ondalık gösterimi sonlu bir sayıdır. Bu sayı $\frac{25}{10}$ veya sadeleştirilmiş haliyle $\frac{5}{2}$ olarak yazılabilir. Bu nedenle $2.5$ bir rasyonel sayıdır.
• B) $\frac{5}{2}$
  • Bu sayı zaten bir kesir olarak verilmiş. $\frac{5}{2} = 2.5$ demektir.
  • $2.5$ sayısı 2 ile 3 arasındadır.
  • Bir kesir olarak yazılabildiği için $\frac{5}{2}$ bir rasyonel sayıdır.
• C) $\sqrt{5}$
  • Öncelikle bu sayının 2 ile 3 arasında olup olmadığını kontrol edelim.
    • $\sqrt{4} = 2$
    • $\sqrt{9} = 3$

    5 sayısı 4 ile 9 arasında olduğu için, $\sqrt{5}$ sayısı da $\sqrt{4}$ ile $\sqrt{9}$ arasında, yani 2 ile 3 arasındadır ($2 < \sqrt{5} < 3$).

  • Şimdi irrasyonel olup olmadığını kontrol edelim. 5 sayısı bir tam kare sayı değildir (yani hiçbir tam sayının karesi 5 etmez). Bu nedenle $\sqrt{5}$ bir irrasyonel sayıdır. Ondalık gösterimi sonsuz ve tekrar etmeyen bir yapıya sahiptir (yaklaşık $2.23606...$).
• D) $2.\overline{6}$
  • Bu sayı $2.666...$ şeklinde devam eden, devirli bir ondalık sayıdır. Bu sayı 2 ile 3 arasındadır.
  • Devirli ondalık sayılar her zaman rasyonel sayıdır. Bu sayıyı kesir olarak yazabiliriz:
    • $x = 2.\overline{6}$ olsun.
    • $10x = 26.\overline{6}$
    • $10x - x = 26.\overline{6} - 2.\overline{6}$
    • $9x = 24$
    • $x = \frac{24}{9} = \frac{8}{3}$

    Bir kesir olarak yazılabildiği için $2.\overline{6}$ bir rasyonel sayıdır.

Yukarıdaki incelemeler sonucunda, 2 ile 3 arasında yer alan ve irrasyonel olan tek sayı $\sqrt{5}$'tir.

Cevap C seçeneğidir.