Bir piramidin tabanı eşkenar üçgendir. Taban kenarı 10 cm ve piramidin yüksekliği 12 cm olduğuna göre, hacmi kaç cm³'tür? (√3 ≈ 1,73)
A) 150
B) 173
C) 200
D) 216
E) 240
Sevgili öğrenciler, bu soruda bir piramidin hacmini bulmamız isteniyor. Piramidin tabanı eşkenar üçgen olduğu için öncelikle taban alanını bulmalı, ardından piramit hacmi formülünü kullanarak sonuca ulaşmalıyız.
- 1. Adım: Piramidin Hacim Formülünü Hatırlayalım
- Bir piramidin hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımının üçte birine eşittir. Formülü şu şekildedir:
- $V = \frac{1}{3} \times \text{Taban Alanı} \times \text{Yükseklik}$
- Burada $V$ hacmi, $\text{Taban Alanı}$ tabanın alanını ve $\text{Yükseklik}$ piramidin yüksekliğini temsil eder.
- 2. Adım: Taban Alanını Hesaplayalım
- Piramidin tabanı eşkenar üçgendir ve bir kenarı $10$ cm'dir. Eşkenar üçgenin alan formülü:
- $\text{Taban Alanı} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$
- Burada $a$ eşkenar üçgenin bir kenar uzunluğudur. Verilen değerleri yerine yazalım:
- $a = 10$ cm
- $\text{Taban Alanı} = \frac{10^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{100 \sqrt{3}}{4}$
- $\text{Taban Alanı} = 25 \sqrt{3}$ cm$^2$
- Soruda $\sqrt{3} \approx 1,73$ olarak verilmiş. Bu değeri kullanarak taban alanını yaklaşık olarak bulalım:
- $\text{Taban Alanı} = 25 \times 1,73 = 43,25$ cm$^2$
- 3. Adım: Piramidin Hacmini Hesaplayalım
- Şimdi bulduğumuz taban alanını ve verilen yüksekliği ($h = 12$ cm) hacim formülünde yerine yazalım:
- $V = \frac{1}{3} \times \text{Taban Alanı} \times \text{Yükseklik}$
- $V = \frac{1}{3} \times (25 \sqrt{3}) \times 12$
- İşlemi basitleştirelim:
- $V = 25 \sqrt{3} \times \frac{12}{3}$
- $V = 25 \sqrt{3} \times 4$
- $V = 100 \sqrt{3}$ cm$^3$
- Son olarak, $\sqrt{3}$'ün yaklaşık değerini ($1,73$) kullanarak hacmi sayısal olarak bulalım:
- $V = 100 \times 1,73$
- $V = 173$ cm$^3$
Bu durumda piramidin hacmi $173$ cm$^3$'tür.
Cevap B seçeneğidir.
