\(\frac{\sin75° + \sin15°}{\cos75° + \cos15°}\) ifadesinin değeri kaçtır?
A) 1
B) \(\sqrt{3}\)
C) \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
D) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Bu trigonometri sorusunu çözmek için toplamdan çarpıma dönüşüm formüllerini kullanacağız. Bu formüller, sinüs ve kosinüs toplamlarını daha basit ifadelere dönüştürmemize yardımcı olur.
- Adım 1: Toplamdan Çarpıma Dönüşüm Formüllerini Hatırlayalım
- $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$
- $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$
- Adım 2: Formülleri Uygulayalım
- Pay için: $\sin 75^\circ + \sin 15^\circ = 2 \sin \frac{75^\circ + 15^\circ}{2} \cos \frac{75^\circ - 15^\circ}{2} = 2 \sin 45^\circ \cos 30^\circ$
- Payda için: $\cos 75^\circ + \cos 15^\circ = 2 \cos \frac{75^\circ + 15^\circ}{2} \cos \frac{75^\circ - 15^\circ}{2} = 2 \cos 45^\circ \cos 30^\circ$
- Adım 3: İfadeyi Basitleştirelim
- $\frac{\sin75° + \sin15°}{\cos75° + \cos15°} = \frac{2 \sin 45^\circ \cos 30^\circ}{2 \cos 45^\circ \cos 30^\circ}$
- $2$, $\sin 45^\circ$ ve $\cos 30^\circ$ terimleri sadeleşir.
- Geriye $\frac{\sin 45^\circ}{\cos 45^\circ}$ kalır.
- Adım 4: Sonucu Bulalım
- $\frac{\sin 45^\circ}{\cos 45^\circ} = \tan 45^\circ = 1$
Bu nedenle, $\frac{\sin75° + \sin15°}{\cos75° + \cos15°}$ ifadesinin değeri 1'dir.
Cevap A seçeneğidir.
