Soru:
\(\tan(105^\circ)\)'in değerini toplam-fark formüllerini kullanarak hesaplayınız.
Çözüm:
💡 105°'yi, tanjant toplam formülünü uygulayabileceğimiz bilinen açıların toplamı olarak yazabiliriz. Örneğin: \(105^\circ = 60^\circ + 45^\circ\).
- ➡️ Tanjant toplam formülünü hatırlayalım: \(\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}\).
- ➡️ Bu formülü \(A = 60^\circ\) ve \(B = 45^\circ\) için uygulayalım:
\(\tan(60^\circ + 45^\circ) = \frac{\tan 60^\circ + \tan 45^\circ}{1 - \tan 60^\circ \cdot \tan 45^\circ}\)
- ➡️ Bilinen trigonometrik değerleri yerine koyalım:
\(= \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - (\sqrt{3} \cdot 1)} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}\)
- ➡️ Paydayı rasyonel hale getirelim. Bunun için pay ve paydayı paydanın eşleniği olan \((1 + \sqrt{3})\) ile çarpalım:
\(= \frac{(\sqrt{3} + 1)(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{1^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{(3 + 2\sqrt{3} + 1)}{1 - 3} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2}\)
- ➡️ Kesri sadeleştirelim:
\(= -2 - \sqrt{3}\)
✅ Sonuç: \(\tan(105^\circ) = -2 - \sqrt{3}\)
