Soru:
\(\tan(105^\circ)\)'nin değerini toplam-fark formüllerini kullanarak bulunuz.
Çözüm:
💡 105°'yi bildiğimiz açıların toplamı olarak yazabiliriz: \(105^\circ = 60^\circ + 45^\circ\). Tanjant toplam formülünü kullanacağız: \(\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}\).
- ➡️ Formülü uygulayalım: \(\tan(60^\circ + 45^\circ) = \frac{\tan 60^\circ + \tan 45^\circ}{1 - \tan 60^\circ \tan 45^\circ}\).
- ➡️ Bilinen değerleri yerine koyalım: \(\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - (\sqrt{3})(1)} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}\).
- ➡️ Paydayı rasyonel yapalım. Bunun için pay ve paydayı paydanın eşleniği olan \(1 + \sqrt{3}\) ile çarpalım: \(\frac{(\sqrt{3} + 1)(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{1 - 3} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{-2} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -2 - \sqrt{3}\).
✅ Sonuç: \(\tan(105^\circ) = -2 - \sqrt{3}\).
