30-60-90 üçgeninin alanı 18√3 cm² ve en kısa kenarı 6 cm ise, hipotenüsün uzunluğu kaç cm'dir?
A) 6√3Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, özel bir üçgen olan 30-60-90 üçgeninin özelliklerini kullanarak hipotenüsün uzunluğunu bulacağız. Adım adım ilerleyelim ve bu tür soruları nasıl çözeceğimizi öğrenelim.
Bir 30-60-90 üçgeninde, kenar uzunlukları arasında belirli bir oran vardır. Eğer 30 derecelik açının karşısındaki kenarın uzunluğu $x$ ise:
Bu oranları bilmek, bu tür üçgen problemlerini çözmek için anahtarımızdır.
30-60-90 üçgeninde en kısa kenar, her zaman 30 derecelik açının karşısındaki kenardır. Soruda bize en kısa kenarın 6 cm olduğu verilmiş.
Bu durumda, 30 derecenin karşısındaki kenarımız $x = 6$ cm'dir.
Yukarıdaki özelliklere göre, hipotenüs (90 derecenin karşısındaki kenar) $2x$ uzunluğundadır. Biz $x$ değerini 6 cm olarak bulduğumuza göre, hipotenüsün uzunluğunu kolayca hesaplayabiliriz:
Hipotenüs = $2 \times x = 2 \times 6 = 12$ cm.
Soruda bize üçgenin alanı $18\sqrt{3}$ cm² olarak verilmiş. Bu bilgiyi, bulduğumuz kenar uzunluklarının doğruluğunu kontrol etmek için kullanabiliriz. Bir dik üçgenin alanı, dik kenarlarının çarpımının yarısıdır.
Dik kenarlarımız 30 derecenin karşısındaki kenar ($x$) ve 60 derecenin karşısındaki kenar ($x\sqrt{3}$) idi.
Alan = $ rac{1}{2} \times (\text{dik kenar 1}) \times (\text{dik kenar 2})$
Alan = $ rac{1}{2} \times 6 \times 6\sqrt{3}$
Alan = $3 \times 6\sqrt{3}$
Alan = $18\sqrt{3}$ cm²
Gördüğümüz gibi, hesapladığımız alan verilen alanla eşleşiyor. Bu da kenar uzunluklarımızı doğru bulduğumuzu teyit eder.
Sonuç olarak, hipotenüsün uzunluğu 12 cm'dir.
Cevap B seçeneğidir.
