Ortak çarpan parantezine alma Test 1

9. \( 18x^4 - 27x^3 + 36x^2 \) ifadesini en büyük ortak çarpan parantezine aldığımızda hangi ifadeyi elde ederiz?

A) \( 9x^2(2x^2 - 3x + 4) \)
B) \( 9(2x^4 - 3x^3 + 4x^2) \)
C) \( 3x^2(6x^2 - 9x + 12) \)
D) \( 18x^2(x^2 - 1.5x + 2) \)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, cebirsel ifadeleri sadeleştirme ve ortak çarpan parantezine alma konusunda önemli bir beceriyi, yani En Büyük Ortak Çarpan (EBOÇ) parantezine almayı öğreneceğiz. Bu yöntem, karmaşık görünen ifadeleri daha anlaşılır hale getirmemizi sağlar.

Soruda verilen ifadeyi adım adım inceleyelim: $18x^4 - 27x^3 + 36x^2$

• Adım 1: İfadedeki Terimleri Belirleyelim.

  Verilen ifadede üç ayrı terim bulunmaktadır:

  • Birinci terim: $18x^4$
  • İkinci terim: $-27x^3$
  • Üçüncü terim: $36x^2$

  Her terimin hem bir katsayısı (sayısal kısmı) hem de bir değişkenli kısmı (harfli kısmı) olduğunu unutmayın.

• Adım 2: Katsayıların En Büyük Ortak Çarpanını (EBOÇ) Bulalım.

  Şimdi terimlerin katsayılarına odaklanalım: 18, 27 ve 36.

  Bu sayıların her birini bölen en büyük sayıyı bulmalıyız. Bunu yapmak için, her sayının çarpanlarını düşünebiliriz:

  • 18'in çarpanları: 1, 2, 3, 6, 9, 18
  • 27'nin çarpanları: 1, 3, 9, 27
  • 36'nın çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

  Gördüğümüz gibi, bu üç sayının ortak çarpanları arasında en büyüğü 9'dur. Yani, katsayıların EBOÇ'u 9'dur.

• Adım 3: Değişkenlerin En Büyük Ortak Çarpanını (EBOÇ) Bulalım.

  Şimdi de terimlerin değişkenli kısımlarına bakalım: $x^4$, $x^3$ ve $x^2$.

  Tüm terimlerde ortak olan $x$ değişkeninin en küçük üssünü almalıyız. Çünkü bir terimdeki $x$ kuvveti, diğer terimlerdeki $x$ kuvvetlerinden daha büyük olamaz.

  • $x^4 = x^2 \cdot x^2$
  • $x^3 = x^2 \cdot x$
  • $x^2 = x^2 \cdot 1$

  Bu durumda, tüm terimlerde ortak olan en küçük üslü $x$ terimi $x^2$'dir. Yani, değişkenlerin EBOÇ'u $x^2$'dir.

• Adım 4: Tüm İfadenin En Büyük Ortak Çarpanını (EBOÇ) Belirleyelim.

  İfadenin genel EBOÇ'unu bulmak için, katsayıların EBOÇ'u ile değişkenlerin EBOÇ'unu çarparız.

  EBOÇ = (Katsayıların EBOÇ'u) $\times$ (Değişkenlerin EBOÇ'u)

  EBOÇ = $9 \times x^2 = 9x^2$

• Adım 5: İfadeyi EBOÇ Parantezine Alalım.

  Şimdi, bulduğumuz EBOÇ olan $9x^2$'yi parantez dışına yazacağız. Parantezin içine ise, orijinal ifadedeki her bir terimi $9x^2$'ye bölerek bulduğumuz sonuçları yazacağız.

  • Birinci terim: $rac{18x^4}{9x^2} = rac{18}{9} \cdot rac{x^4}{x^2} = 2x^{4-2} = 2x^2$
  • İkinci terim: $rac{-27x^3}{9x^2} = rac{-27}{9} \cdot rac{x^3}{x^2} = -3x^{3-2} = -3x$
  • Üçüncü terim: $rac{36x^2}{9x^2} = rac{36}{9} \cdot rac{x^2}{x^2} = 4x^{2-2} = 4x^0 = 4 \cdot 1 = 4$
• Adım 6: Sonucu Yazalım.

  EBOÇ'u parantez dışına, bölme işlemlerinin sonuçlarını da parantez içine yazarak sonuca ulaşırız:

  $9x^2(2x^2 - 3x + 4)$

Bu ifadeyi seçeneklerle karşılaştırdığımızda, A seçeneği ile aynı olduğunu görürüz.

Cevap A seçeneğidir.