30-60-90 üçgeninde hipotenüsün uzunluğu, en kısa kenarın uzunluğunun iki katıdır. Buna göre, 60°'lik açının karşısındaki kenarın uzunluğu en kısa kenarın uzunluğunun kaç katıdır?
A) \(\sqrt{2}\)
B) \(\sqrt{3}\)
C) 2
D) 3
Bu soruda, özel bir dik üçgen olan 30-60-90 üçgeninin kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi bulmamız isteniyor. Bu üçgenin özelliklerini adım adım inceleyelim:
- Adım 1: 30-60-90 Üçgenini Tanıyalım
- 30-60-90 üçgeni, iç açıları 30°, 60° ve 90° olan bir dik üçgendir. Bu üçgenin kenar uzunlukları arasında belirli oranlar bulunur.
- Adım 2: Kenarları İsimlendirelim
- En kısa kenar, 30°'lik açının karşısındaki kenardır. Bu kenarın uzunluğuna $k$ diyelim.
- Hipotenüs (90°'lik açının karşısındaki kenar), en kısa kenarın iki katıdır. Yani hipotenüsün uzunluğu $2k$ olur. Bu bilgi, soruda da bize verilmiştir.
- 60°'lik açının karşısındaki kenarın uzunluğunu bulmamız gerekiyor. Bu kenara da $x$ diyelim.
- Adım 3: Pisagor Teoremini Kullanalım
- Bir dik üçgende kenarlar arasındaki ilişkiyi Pisagor teoremi ile bulabiliriz: (birinci dik kenar)$^2$ + (ikinci dik kenar)$^2$ = (hipotenüs)$^2$.
- Bizim üçgenimizde dik kenarlar $k$ ve $x$, hipotenüs ise $2k$'dır. Bu değerleri Pisagor teoremine yerleştirelim:
- $k^2 + x^2 = (2k)^2$
- Adım 4: Denklemi Çözelim
- Denklemi adım adım çözelim:
- $k^2 + x^2 = 4k^2$
- Şimdi $x^2$'yi yalnız bırakmak için $k^2$'yi eşitliğin diğer tarafına atalım:
- $x^2 = 4k^2 - k^2$
- $x^2 = 3k^2$
- Şimdi $x$'i bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım:
- $x = \sqrt{3k^2}$
- $x = k\sqrt{3}$
- Adım 5: Sonucu Yorumlayalım
- Bulduğumuz sonuç $x = k\sqrt{3}$'tür. Burada $x$, 60°'lik açının karşısındaki kenarın uzunluğu; $k$ ise en kısa kenarın (30°'lik açının karşısındaki kenarın) uzunluğudur.
- Bu durumda, 60°'lik açının karşısındaki kenarın uzunluğu, en kısa kenarın uzunluğunun $\sqrt{3}$ katıdır.
Bu özel üçgenin kenar oranlarını unutmayın: 30°'nin karşısı $k$, 60°'nin karşısı $k\sqrt{3}$, 90°'nin karşısı $2k$.
Cevap B seçeneğidir.
