Bir parkta zemine çizilmiş iki üçgen şekil vardır. Birinci üçgenin kenar uzunlukları 6 m, 8 m ve 10 m'dir. İkinci üçgenin kenar uzunlukları ise 12 m, 16 m ve 20 m'dir. Bu iki üçgen için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Eş üçgenlerdirBu soruda iki üçgenin kenar uzunlukları verilmiş ve aralarındaki ilişkiyi bulmamız isteniyor. Adım adım inceleyelim:
Birinci üçgenin kenar uzunlukları: $6$ m, $8$ m, $10$ m.
İkinci üçgenin kenar uzunlukları: $12$ m, $16$ m, $20$ m.
Eş üçgenler, tüm kenar uzunlukları ve tüm açıları birbirine eşit olan üçgenlerdir. Yani, bir üçgeni diğerinin üzerine koyduğumuzda tam olarak çakışmaları gerekir.
Gördüğümüz gibi, birinci üçgenin kenarları ($6, 8, 10$) ile ikinci üçgenin kenarları ($12, 16, 20$) birbirinden farklıdır. Bu nedenle, bu iki üçgen eş üçgenler değildir. A seçeneği yanlış.
Benzer üçgenler, karşılıklı kenar uzunlukları orantılı olan ve karşılıklı açıları eşit olan üçgenlerdir. Yani, bir üçgen diğerinin büyütülmüş veya küçültülmüş bir kopyasıdır.
Bu durumu kontrol etmek için, her iki üçgenin kenarlarını küçükten büyüğe doğru sıralayalım ve karşılıklı kenarların oranlarını bulalım:
Birinci üçgenin kenarları: $6$ m, $8$ m, $10$ m
İkinci üçgenin kenarları: $12$ m, $16$ m, $20$ m
Şimdi karşılıklı kenarların oranlarını hesaplayalım:
En küçük kenarların oranı: $\frac{12 \text{ m}}{6 \text{ m}} = 2$
Ortanca kenarların oranı: $\frac{16 \text{ m}}{8 \text{ m}} = 2$
En büyük kenarların oranı: $\frac{20 \text{ m}}{10 \text{ m}} = 2$
Gördüğümüz gibi, karşılıklı tüm kenarların oranları birbirine eşittir ($2$). Bu orana benzerlik oranı denir. Kenar uzunlukları orantılı olduğu için, bu iki üçgen benzer üçgenlerdir. B seçeneği doğru görünüyor!
Benzer üçgenlerin alanları genellikle eşit değildir. Alanları eşit olması için eş üçgen olmaları gerekir. Benzer üçgenlerde alanlar oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.
Bu üçgenlerin özel bir durumu daha var: Pisagor teoremini hatırlayalım ($a^2 + b^2 = c^2$).
Birinci üçgen için: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$. $10^2 = 100$. Yani $6^2 + 8^2 = 10^2$. Bu, birinci üçgenin bir dik üçgen olduğunu gösterir. Alanı: $\frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik} = \frac{1}{2} \times 6 \text{ m} \times 8 \text{ m} = 24 \text{ m}^2$.
İkinci üçgen için: $12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$. $20^2 = 400$. Yani $12^2 + 16^2 = 20^2$. Bu da ikinci üçgenin bir dik üçgen olduğunu gösterir. Alanı: $\frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik} = \frac{1}{2} \times 12 \text{ m} \times 16 \text{ m} = 96 \text{ m}^2$.
Gördüğümüz gibi, $24 \text{ m}^2 \neq 96 \text{ m}^2$. Yani alanları eşit değildir. C seçeneği yanlış.
Yaptığımız incelemeler sonucunda, iki üçgenin karşılıklı kenar uzunluklarının orantılı olduğunu ve benzerlik oranının $2$ olduğunu bulduk. Bu da onların benzer üçgenler olduğu anlamına gelir.
Cevap B seçeneğidir.
