\( 24a^4b^3 - 16a^3b^4 + 32a^5b^2 \) ifadesinin en büyük ortak çarpanı aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( 8a^3b^2 \)Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, verilen bir cebirsel ifadenin en büyük ortak çarpanını (EBOÇ) bulmayı öğreneceğiz. En büyük ortak çarpan, bir ifadedeki tüm terimleri tam bölen en büyük sayıyı ve değişkenleri içeren ifadedir. Adım adım ilerleyelim:
Öncelikle, verilen ifadeyi inceleyelim: $ 24a^4b^3 - 16a^3b^4 + 32a^5b^2 $. Bu ifadede üç terim bulunmaktadır:
En büyük ortak çarpanı bulmak için, her terimin katsayılarını ve değişkenlerini ayrı ayrı inceleyeceğiz.
Katsayıların En Büyük Ortak Çarpanını Bulma:
Terimlerin katsayıları $24$, $16$ ve $32$'dir. Bu sayıların en büyük ortak çarpanını bulalım:
Ortak olan asal çarpan $2$'dir. Bu asal çarpanın en küçük üssü $2^3$'tür. Bu da $8$ demektir. O halde, katsayıların EBOÇ'u $8$'dir.
'$a$' Değişkeninin En Büyük Ortak Çarpanını Bulma:
Her terimdeki '$a$' değişkeninin üslerine bakalım: $a^4$, $a^3$ ve $a^5$. Değişkenlerin EBOÇ'unu bulurken, ortak olan değişkenin en küçük üslüsünü alırız. Burada en küçük üs $3$'tür. Yani, '$a$' değişkeninin EBOÇ'u $a^3$'tür.
'$b$' Değişkeninin En Büyük Ortak Çarpanını Bulma:
Şimdi de her terimdeki '$b$' değişkeninin üslerine bakalım: $b^3$, $b^4$ ve $b^2$. Yine, ortak olan değişkenin en küçük üslüsünü alırız. Burada en küçük üs $2$'dir. Yani, '$b$' değişkeninin EBOÇ'u $b^2$'dir.
Tüm İfadenin En Büyük Ortak Çarpanını Bulma:
Bulduğumuz katsayıların EBOÇ'unu ve değişkenlerin EBOÇ'larını çarparak tüm ifadenin en büyük ortak çarpanını elde ederiz:
EBOÇ = (Katsayıların EBOÇ'u) $\times$ ('$a$' değişkeninin EBOÇ'u) $\times$ ('$b$' değişkeninin EBOÇ'u)
EBOÇ = $8 \times a^3 \times b^2 = 8a^3b^2$
Bu sonuca göre, doğru seçenek A şıkkıdır.
Cevap A seçeneğidir.