Çemberde açılar (Merkez açı, Çevre açı) Test 2

Bir çemberde, merkez açının ölçüsü ile bu açının gördüğü yayı gören çevre açının ölçüsü toplamı 150° dir. Buna göre, merkez açının ölçüsü kaç derecedir?

A) 50°
B) 75°
C) 100°
D) 120°
E) 150°

Bu soruyu çözmek için çemberde açılarla ilgili temel bilgileri hatırlayarak adım adım ilerleyelim:

• 1. Merkez Açı ve Çevre Açı İlişkisini Hatırlayalım:
• Bir çemberde, merkez açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsüne eşittir.
• Aynı yayı gören çevre açının ölçüsü ise, gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir.
• Bu iki tanımı birleştirdiğimizde, aynı yayı gören bir çevre açının ölçüsü, merkez açının ölçüsünün yarısıdır.
• Matematiksel olarak ifade edersek: Eğer merkez açının ölçüsüne $M$ ve aynı yayı gören çevre açının ölçüsüne $Ç$ dersek, aralarındaki ilişki $Ç = \frac{M}{2}$ şeklinde olacaktır.
• 2. Verilen Bilgiyi Denkleme Dökelim:
• Soruda bize merkez açının ölçüsü ile bu açının gördüğü yayı gören çevre açının ölçüsü toplamının $150^\circ$ olduğu verilmiş.
• Yani, $M + Ç = 150^\circ$ dir.
• 3. Denklemleri Birleştirelim ve Çözelim:
• Şimdi, $Ç = \frac{M}{2}$ ifadesini, $M + Ç = 150^\circ$ denkleminde yerine yazalım:
• $M + \frac{M}{2} = 150^\circ$
• Bu denklemi $M$ (merkez açının ölçüsü) için çözmemiz gerekiyor:
• Denklemin sol tarafındaki terimleri ortak paydada toplayalım: $\frac{2M}{2} + \frac{M}{2} = 150^\circ$
• Bu da $\frac{3M}{2} = 150^\circ$ anlamına gelir.
• Şimdi her iki tarafı $2$ ile çarpalım: $3M = 150^\circ \times 2$
• $3M = 300^\circ$
• Son olarak, her iki tarafı $3$ ile bölelim: $M = \frac{300^\circ}{3}$
• Buradan merkez açının ölçüsünü $M = 100^\circ$ olarak buluruz.
• 4. Çözümümüzü Kontrol Edelim:
• Merkez açının ölçüsü $100^\circ$ ise, aynı yayı gören çevre açının ölçüsü $100^\circ / 2 = 50^\circ$ olur.
• Merkez açı ($100^\circ$) ile çevre açının ($50^\circ$) toplamı $100^\circ + 50^\circ = 150^\circ$ dir. Bu da soruda verilen bilgiyle tamamen uyuşmaktadır.

Cevap C seçeneğidir.