f(-x) grafiği (Y eksenine göre simetri) Test 2

f(x) = x² - 2x + 1 fonksiyonunun grafiği veriliyor. f(-x) fonksiyonunun grafiği için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) f(x) grafiğinin aynısıdır
B) f(x) grafiğinin y eksenine göre simetriğidir
C) f(x) grafiğinin x eksenine göre simetriğidir
D) f(x) grafiğinin orijine göre simetriğidir

Merhaba sevgili öğrenciler! Fonksiyon grafikleri üzerindeki dönüşümler, matematiğin en eğlenceli ve görsel konularından biridir. Şimdi, verilen $f(x)$ fonksiyonunun grafiğinden yola çıkarak $f(-x)$ fonksiyonunun grafiğini nasıl bulacağımızı adım adım inceleyelim.

• 1. Fonksiyon Dönüşümünü Anlayalım:

  Bir fonksiyonun kuralında $x$ yerine $-x$ yazmak, grafiği nasıl etkiler? Bunu düşünelim. Eğer $f(x)$ fonksiyonunun grafiği üzerinde bir $(a, b)$ noktası varsa, bu $f(a) = b$ anlamına gelir. Şimdi $f(-x)$ fonksiyonunun grafiği üzerindeki noktaları bulmaya çalışalım.

  Eğer $f(-x)$ fonksiyonunda $x$ yerine $-a$ yazarsak, fonksiyonun değeri $f(-(-a)) = f(a)$ olur. Ve biz $f(a)$'nın $b$'ye eşit olduğunu biliyoruz. Yani, $f(-x)$ fonksiyonu için $x = -a$ olduğunda, $y$ değeri $b$ olur. Bu durumda, $(-a, b)$ noktası $f(-x)$ fonksiyonunun grafiği üzerindedir.

• 2. Y Eksenine Göre Simetri Kavramı:

  Bir noktanın y eksenine göre simetriğini hatırlayalım. Bir $(a, b)$ noktasının y eksenine göre simetriği, $x$ koordinatının işaretini değiştirerek bulunur ve bu nokta $(-a, b)$ olur.

  Yukarıdaki 1. adımda bulduğumuz sonuçla bu tanımı karşılaştırdığımızda, $f(x)$ üzerindeki her $(a, b)$ noktasına karşılık, $f(-x)$ üzerinde bir $(-a, b)$ noktası olduğunu görüyoruz. Bu da tam olarak y eksenine göre simetri tanımına uyuyor!

• 3. Genel Kuralı Belirleyelim:

  Bu gözlemlerden yola çıkarak genel bir kural çıkarabiliriz: Bir $f(x)$ fonksiyonunun grafiği verildiğinde, $f(-x)$ fonksiyonunun grafiği, $f(x)$ grafiğinin y eksenine göre simetriğidir.

• 4. Fonksiyonumuzu İnceleyelim (İsteğe Bağlı Kontrol):

  Verilen fonksiyon $f(x) = x^2 - 2x + 1$. Bu fonksiyonu $f(x) = (x-1)^2$ şeklinde yazabiliriz. Bu bir paraboldür ve tepe noktası $(1, 0)$'dır.

  Şimdi $f(-x)$ fonksiyonunu bulalım:

  $f(-x) = (-x)^2 - 2(-x) + 1$

  $f(-x) = x^2 + 2x + 1$

  Bu fonksiyonu da tam kare şeklinde yazarsak: $f(-x) = (x+1)^2$.

  Bu parabolün tepe noktası $(-1, 0)$'dır.

  Gördüğümüz gibi, $f(x)$'in tepe noktası $(1, 0)$ iken, $f(-x)$'in tepe noktası $(-1, 0)$ olmuştur. Bu, tepe noktasının y eksenine göre simetriğini almamızla aynıdır. Tüm grafik için de bu durum geçerlidir.

• 5. Seçenekleri Değerlendirme:
  • A) f(x) grafiğinin aynısıdır: Bu durum sadece $f(-x) = f(x)$ olduğunda (yani fonksiyon çift olduğunda) geçerlidir. Bizim fonksiyonumuz çift değildir.
  • B) f(x) grafiğinin y eksenine göre simetriğidir: Yaptığımız analizler ve genel kuralımız bu seçeneği doğrulamaktadır.
  • C) f(x) grafiğinin x eksenine göre simetriğidir: Bu durum $-f(x)$ fonksiyonunun grafiği için geçerlidir.
  • D) f(x) grafiğinin orijine göre simetriğidir: Bu durum $-f(-x)$ fonksiyonunun grafiği için veya fonksiyon tek olduğunda ($f(-x) = -f(x)$) geçerlidir.

Tüm bu adımları takip ettiğimizde, $f(-x)$ fonksiyonunun grafiğinin, $f(x)$ fonksiyonunun grafiğinin y eksenine göre simetriği olduğunu açıkça görmüş oluruz.

Cevap B seçeneğidir.