Aşağıdan yukarıya düşey atış Test 1

Yerden 45 m yükseklikten 20 m/s hızla aşağıdan yukarıya doğru düşey olarak atılan bir cisim, maksimum yüksekliğe çıktıktan sonra yere düşüyor. Cismin havada kalma süresi kaç saniyedir? (g = 10 m/s²)

A) 5
B) 6
C) 7
D) 8

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir cismin belirli bir yükseklikten yukarı doğru atılması ve ardından yere düşmesi olayını inceleyeceğiz. Cismin havada kalma süresini bulmak için hareketi iki ana bölüme ayırabiliriz: yukarı çıkış ve aşağı düşüş. Adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: Cismin maksimum yüksekliğe çıkış süresini ($t_{çıkış}$) hesaplayalım.

  Cisim yukarı doğru atıldığında yer çekimi ivmesi ($g$) hızını azaltır. Maksimum yüksekliğe ulaştığında anlık hızı $0$ olur. Bu durumu aşağıdaki formülle ifade edebiliriz:

  $v_f = v_0 - gt_{çıkış}$

  Burada:

  • $v_f$ (son hız) = $0$ m/s (maksimum yükseklikte)
  • $v_0$ (ilk hız) = $20$ m/s (yukarı doğru atılma hızı)
  • $g$ (yer çekimi ivmesi) = $10$ m/s²

  Şimdi değerleri yerine koyalım:

  $0 = 20 - 10 \cdot t_{çıkış}$

  $10 \cdot t_{çıkış} = 20$

  $t_{çıkış} = \frac{20}{10} = 2$ saniye.

  Yani cisim, atıldığı noktadan maksimum yüksekliğe $2$ saniyede çıkıyor.

• Adım 2: Cismin atıldığı noktadan itibaren çıktığı ek yüksekliği ($h_{ekstra}$) hesaplayalım.

  Cisim $2$ saniye boyunca yukarı doğru hareket ederken ne kadar yol aldığını bulalım. Bunun için aşağıdaki formülü kullanabiliriz:

  $h_{ekstra} = v_0 t_{çıkış} - \frac{1}{2}gt_{çıkış}^2$

  Değerleri yerine koyalım:

  $h_{ekstra} = (20 \text{ m/s}) \cdot (2 \text{ s}) - \frac{1}{2} \cdot (10 \text{ m/s}^2) \cdot (2 \text{ s})^2$

  $h_{ekstra} = 40 - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4$

  $h_{ekstra} = 40 - 20$

  $h_{ekstra} = 20$ metre.

  Cisim, atıldığı $45$ metrelik yükseklikten $20$ metre daha yükseliyor.

• Adım 3: Cismin maksimum yükseklikten yere düşene kadar kat edeceği toplam yüksekliği ($H_{toplam}$) hesaplayalım.

  Cisim başlangıçta yerden $45$ m yükseklikteydi ve $20$ m daha yükseldi. Dolayısıyla, maksimum yüksekliği yerden itibaren:

  $H_{toplam} = \text{Başlangıç yüksekliği} + \text{Ekstra yükseklik}$

  $H_{toplam} = 45 \text{ m} + 20 \text{ m} = 65 \text{ m}$.

  Cisim, yerden $65$ metre yükseklikten düşmeye başlayacaktır.

• Adım 4: Cismin maksimum yükseklikten yere düşme süresini ($t_{iniş}$) hesaplayalım.

  Cisim maksimum yükseklikte anlık olarak durduğu için, bu noktadan düşüşe başlarken ilk hızı $0$ kabul edilir. Düşme hareketinde aşağıdaki formülü kullanırız:

  $H_{toplam} = v_{ilk} t_{iniş} + \frac{1}{2}gt_{iniş}^2$

  Burada $v_{ilk} = 0$ m/s olduğu için formül basitleşir:

  $H_{toplam} = \frac{1}{2}gt_{iniş}^2$

  Değerleri yerine koyalım:

  $65 = \frac{1}{2} \cdot (10 \text{ m/s}^2) \cdot t_{iniş}^2$

  $65 = 5 \cdot t_{iniş}^2$

  $t_{iniş}^2 = \frac{65}{5}$

  $t_{iniş}^2 = 13$

  $t_{iniş} = \sqrt{13}$ saniye.

• Adım 5: Cismin havada kalma süresini ($T_{toplam}$) hesaplayalım.

  Cismin havada kalma süresi, yukarı çıkış süresi ile yere düşme süresinin toplamıdır:

  $T_{toplam} = t_{çıkış} + t_{iniş}$

  $T_{toplam} = 2 \text{ s} + \sqrt{13} \text{ s}$.

• Adım 6: Sonucu seçeneklerle karşılaştıralım.

  Hesapladığımız $\sqrt{13}$ değeri yaklaşık olarak $3.6$ civarındadır (çünkü $3^2=9$ ve $4^2=16$).

  Bu durumda $T_{toplam} \approx 2 + 3.6 = 5.6$ saniye.

  Seçeneklere baktığımızda:

  • A) 5
  • B) 6
  • C) 7
  • D) 8

  En yakın tam sayı değeri $6$'dır.

Cevap B seçeneğidir.