Doğrusal Fonksiyonların Eğimi Negatif veya pozitif ise Ne Olur? Test 1

Bir sıcaklık ölçüm cihazının soğuma grafiği çizildiğinde, sıcaklığın zamanla doğrusal olarak azaldığı görülmüştür. Sıcaklık başlangıçta 80°C iken 10 dakika sonra 60°C'ye düşmüştür. Bu grafiğin eğimi nedir ve işareti nasıldır?

A) 2, pozitif
B) -2, negatif
C) 0,5, pozitif
D) -0,5, negatif

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu problemde, bir sıcaklık ölçüm cihazının soğuma grafiğinin eğimini ve işaretini bulmamız isteniyor. Grafiğin doğrusal olduğunu ve sıcaklığın zamanla azaldığını biliyoruz. Şimdi adım adım bu problemi çözelim:

• 1. Eğimin Ne Anlama Geldiğini Hatırlayalım:

  Bir grafiğin eğimi, dikey eksendeki değişimin (burada sıcaklık değişimi) yatay eksendeki değişime (burada zaman değişimi) oranını gösterir. Yani, eğim bize bir büyüklüğün diğerine göre ne kadar hızlı değiştiğini söyler. Matematiksel olarak eğim ($m$) şu formülle bulunur:

  $m = rac{\text{Dikey eksendeki değişim}}{\text{Yatay eksendeki değişim}} = rac{\Delta y}{\Delta x}$

  Bizim durumumuzda, dikey eksen sıcaklık ($T$) ve yatay eksen zaman ($t$) olduğu için formülümüz şöyle olur:

  $m = rac{\Delta T}{\Delta t} = rac{T_2 - T_1}{t_2 - t_1}$

• 2. Verilen Bilgileri Belirleyelim:

  Soruda bize iki farklı zaman ve bu zamanlara karşılık gelen sıcaklık değerleri verilmiş:

  • Başlangıç anı ($t_1$): $0$ dakika (genellikle başlangıç anı $0$ kabul edilir)
  • Başlangıç sıcaklığı ($T_1$): $80^\circ C$
  • Sonraki an ($t_2$): $10$ dakika
  • Sonraki sıcaklık ($T_2$): $60^\circ C$
• 3. Sıcaklık Değişimini ($\Delta T$) Hesaplayalım:

  Sıcaklıktaki değişim, son sıcaklıktan ilk sıcaklığın çıkarılmasıyla bulunur:

  $\Delta T = T_2 - T_1 = 60^\circ C - 80^\circ C = -20^\circ C$

  Sıcaklık azaldığı için değişim değeri negatif çıktı, bu beklenen bir durumdur.

• 4. Zaman Değişimini ($\Delta t$) Hesaplayalım:

  Zaman değişimi, son zamandan ilk zamanın çıkarılmasıyla bulunur:

  $\Delta t = t_2 - t_1 = 10 \text{ dakika} - 0 \text{ dakika} = 10 \text{ dakika}$

• 5. Eğimi ($m$) Hesaplayalım:

  Şimdi bulduğumuz $\Delta T$ ve $\Delta t$ değerlerini eğim formülünde yerine koyalım:

  $m = rac{\Delta T}{\Delta t} = rac{-20^\circ C}{10 \text{ dakika}} = -2^\circ C/\text{dakika}$

• 6. Eğimin İşaretini Belirleyelim:

  Hesapladığımız eğim değeri $-2$'dir. Bu değer negatif bir sayıdır. Bir grafiğin eğimi negatifse, bu, yatay eksendeki değerler arttıkça dikey eksendeki değerlerin azaldığı anlamına gelir. Soruda da sıcaklığın zamanla azaldığı belirtildiği için negatif eğim doğru bir sonuçtur.

Sonuç olarak, grafiğin eğimi $-2$ ve işareti negatiftir.

Cevap B seçeneğidir.