Astronomide ve Mühendislikte Üslü ve Köklü Gösterimler Test 3

Bir gezegenin yıldızına olan uzaklığı, yörünge periyodunun karesiyle doğru orantılıdır (Kepler'in üçüncü yasası). Dünya'nın Güneş'e uzaklığı 1 AB ve yörünge periyodu 1 yıldır. Mars'ın yörünge periyodu yaklaşık 1,88 yıl olduğuna göre, Mars'ın Güneş'e uzaklığı kaç AB'dir? ($\sqrt[3]{1,88^2}$ değeri yaklaşık 1,52'dir)

A) 1,32
B) 1,52
C) 1,78
D) 2,12

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün sizlerle gezegenlerin yörünge hareketlerini açıklayan önemli bir fizik yasası olan Kepler'in üçüncü yasasını kullanarak bir problem çözeceğiz. Bu yasa, bir gezegenin yıldızına olan uzaklığı ile yörünge periyodu arasındaki ilişkiyi gösterir. Hazırsanız, adım adım çözümümüze başlayalım!

• 1. Kepler'in Üçüncü Yasasını Anlayalım:

  Soru bize Kepler'in üçüncü yasasını hatırlatıyor: "Bir gezegenin yıldızına olan uzaklığı, yörünge periyodunun karesiyle doğru orantılıdır." Bu ifadeyi matematiksel olarak şöyle yazabiliriz:

  $T^2 \propto a^3$

  Burada $T$, yörünge periyodunu (bir tam turu tamamlama süresi) ve $a$, gezegenin yıldızına olan ortalama uzaklığını (yörünge yarıçapını veya yarı büyük eksenini) temsil eder. Orantı sabiti aynı yıldız etrafında dönen tüm gezegenler için aynı olduğundan, iki farklı gezegen için bu ilişkiyi oran şeklinde yazabiliriz:

  $\frac{T_1^2}{a_1^3} = \frac{T_2^2}{a_2^3}$

• 2. Verilen Bilgileri Not Edelim:

  Şimdi soruda bize verilen değerleri belirleyelim:

  • Dünya için (Gezegen 1):
  • Yörünge periyodu ($T_D$) = $1$ yıl
  • Güneş'e uzaklığı ($a_D$) = $1$ AB (Astronomik Birim)
  • Mars için (Gezegen 2):
  • Yörünge periyodu ($T_M$) = $1,88$ yıl
  • Güneş'e uzaklığı ($a_M$) = ? (Bunu bulacağız)
• 3. Formülde Yerine Koyalım:

  Yukarıdaki oranı kullanarak bilinen değerleri formüle yerleştirelim:

  $\frac{T_D^2}{a_D^3} = \frac{T_M^2}{a_M^3}$

  $\frac{(1 \text{ yıl})^2}{(1 \text{ AB})^3} = \frac{(1,88 \text{ yıl})^2}{a_M^3}$

  Bu denklemi basitleştirelim:

  $\frac{1}{1} = \frac{(1,88)^2}{a_M^3}$

  $1 = \frac{(1,88)^2}{a_M^3}$

• 4. Mars'ın Uzaklığını ($a_M$) Hesaplayalım:

  Şimdi $a_M$ değerini bulmak için denklemi çözelim:

  $a_M^3 = (1,88)^2$

  Her iki tarafın küp kökünü alarak $a_M$'yi yalnız bırakalım:

  $a_M = \sqrt[3]{(1,88)^2}$

  Soru bize bu değerin yaklaşık olarak ne olduğunu vermiş:

  $\sqrt[3]{1,88^2} \approx 1,52$

  O halde, Mars'ın Güneş'e olan uzaklığı yaklaşık olarak $1,52$ AB'dir.

• 5. Sonucu Seçeneklerle Karşılaştıralım:

  Bulduğumuz $1,52$ AB değeri, seçeneklerde B şıkkına karşılık gelmektedir.

Umarım bu adım adım çözüm, Kepler'in üçüncü yasasını ve nasıl uygulandığını anlamanıza yardımcı olmuştur. Unutmayın, fizik yasaları evrenin işleyişini anlamamız için harika araçlardır!

Cevap B seçeneğidir.