Astronomide ve Mühendislikte Üslü ve Köklü Gösterimler Çözümlü Sorular

Bir mühendis, tasarladığı yeni bir köprünün güvenliğini test etmek için bir analiz yapıyor. Köprüdeki bir kolonun, üzerine binen yük (\(P\)) altında burkulmaya karşı güvenlik faktörünü hesaplamak istiyor. Kritik burkulma yükü (\(P_{cr}\)), aşağıdaki formülle verilmektedir:

\[ P_{cr} = \frac{\pi^2 E I}{L^2} \]

Burada:

• \(E = 2 \times 10^{11} \ \text{Pa}\) (Elastisite modülü)
• \(I = 6.4 \times 10^{-5} \ \text{m}^4\) (Atalet momenti)
• \(L = 12 \ \text{m}\) (Kolonun serbest uzunluğu)

Kolonun maruz kaldığı gerçek yük \(P = 1.5 \times 10^6 \ \text{N}\) olduğuna göre, burkulmaya karşı güvenlik faktörünü (\(GF = P_{cr} / P\)) bulunuz. (\(\pi \approx 3.14\) alınız)

💡 Güvenlik faktörünü bulmak için önce kritik burkulma yükünü (\(P_{cr}\)), sonra da bunu gerçek yüke (\(P\)) böleceğiz.

• ➡️ 1. Adım: \(P_{cr}\) değerini hesaplayalım.
  \(P_{cr} = \frac{(3.14)^2 \times (2 \times 10^{11}) \times (6.4 \times 10^{-5})}{(12)^2}\)
  Önce pay kısmını hesaplayalım:
  \( (3.14)^2 \approx 9.86 \)
  \(9.86 \times (2 \times 10^{11}) = 1.972 \times 10^{12}\)
  \( (1.972 \times 10^{12}) \times (6.4 \times 10^{-5}) = 1.26208 \times 10^{8} \ \text{N}\)
  Şimdi paydayı hesaplayalım:
  \( (12)^2 = 144 \)
  Son olarak:
  \(P_{cr} = \frac{1.26208 \times 10^{8}}{144} \approx 8.764 \times 10^{5} \ \text{N}\)
• ➡️ 2. Adım: Güvenlik faktörünü (\(GF\)) hesaplayalım.
  \(GF = \frac{P_{cr}}{P} = \frac{8.764 \times 10^{5}}{1.5 \times 10^{6}}\)
  \(GF \approx 0.584\)

✅ Sonuç olarak, güvenlik faktörü yaklaşık 0.584 çıkmıştır. Bu değer 1'den küçük olduğu için kolonun bu yük altında güvenli olmadığı anlaşılmaktadır. Tasarımın gözden geçirilmesi gerekmektedir.