Astronomide ve Mühendislikte Üslü ve Köklü Gösterimler Test 3

Bir uydunun Dünya çevresindeki yörünge hızı, yarıçapın kareköküyle ters orantılıdır. 400 km yükseklikteki bir uydunun yörünge hızı 7,67 km/sn'dir. Buna göre 1600 km yükseklikteki bir uydunun yörünge hızı kaç km/sn'dir? (Dünya yarıçapı 6371 km, $\sqrt{\frac{6771}{7971}} \approx 0,92$)

A) 6,82
B) 7,06
C) 7,35
D) 7,92

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir uydunun yörünge hızı ile yörünge yarıçapı arasındaki ilişkiyi kullanarak farklı yükseklikteki bir uydunun hızını bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: Yörünge Hızı ve Yarıçap Arasındaki İlişkiyi Anlayalım.

  Soruda bize, bir uydunun Dünya çevresindeki yörünge hızının, yarıçapın kareköküyle ters orantılı olduğu belirtilmiştir. Bu ifadeyi matematiksel olarak şöyle gösterebiliriz:

  $v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$

  Burada $v$ yörünge hızı, $r$ ise yörünge yarıçapıdır. Ters orantıyı bir eşitliğe dönüştürmek için bir orantı sabiti ($k$) kullanabiliriz:

  $v = \frac{k}{\sqrt{r}}$

  Bu ilişkiyi iki farklı uydu durumu için yazarsak:

  Birinci uydu için: $v_1 = \frac{k}{\sqrt{r_1}}$

  İkinci uydu için: $v_2 = \frac{k}{\sqrt{r_2}}$

• Adım 2: Uyduların Yörünge Yarıçaplarını Hesaplayalım.

  Yörünge yarıçapı ($r$), uydunun Dünya merkezinden olan uzaklığıdır. Bu da Dünya'nın yarıçapı ($R_D$) ile uydunun yerden yüksekliğinin ($h$) toplamına eşittir:

  $r = R_D + h$

  Soruda Dünya yarıçapı $R_D = 6371$ km olarak verilmiştir.

  • Birinci uydu için (400 km yükseklikte):

    $r_1 = 6371 \text{ km} + 400 \text{ km} = 6771 \text{ km}$

  • İkinci uydu için (1600 km yükseklikte):

    $r_2 = 6371 \text{ km} + 1600 \text{ km} = 7971 \text{ km}$

• Adım 3: Hızlar Arasındaki Orantıyı Kuralım.

  Şimdi, Adım 1'de bulduğumuz iki denklemi birbirine oranlayarak orantı sabiti $k$'yi ortadan kaldıralım. Bu bize hızlar ve yarıçaplar arasındaki doğrudan ilişkiyi verecektir:

  $\frac{v_1}{v_2} = \frac{k/\sqrt{r_1}}{k/\sqrt{r_2}}$

  Bu ifadeyi sadeleştirdiğimizde:

  $\frac{v_1}{v_2} = \frac{\sqrt{r_2}}{\sqrt{r_1}} = \sqrt{\frac{r_2}{r_1}}$

  Biz $v_2$'yi aradığımız için, denklemi $v_2$ için yeniden düzenleyelim:

  $v_2 = v_1 \cdot \sqrt{\frac{r_1}{r_2}}$

• Adım 4: İkinci Uydunun Yörünge Hızını Hesaplayalım.

  Şimdi elimizdeki değerleri bu formülde yerine koyalım:

  • $v_1 = 7,67$ km/sn (400 km yükseklikteki uydunun hızı)
  • $r_1 = 6771$ km
  • $r_2 = 7971$ km

  $v_2 = 7,67 \cdot \sqrt{\frac{6771}{7971}}$

  Soruda bize $\sqrt{\frac{6771}{7971}} \approx 0,92$ olduğu bilgisi verilmiştir. Bu değeri kullanarak hesaplamayı tamamlayalım:

  $v_2 = 7,67 \cdot 0,92$

  $v_2 \approx 7,0564$ km/sn

• Adım 5: Sonucu Seçeneklerle Karşılaştıralım.

  Hesapladığımız $v_2$ değeri yaklaşık olarak $7,06$ km/sn'dir. Seçeneklere baktığımızda, bu değere en yakın olan seçenek B'dir.

Cevap B seçeneğidir.