Bir radyo teleskobunun çözünürlüğü, anten çapıyla ters orantılıdır. 100 metre çapındaki bir teleskobun çözünürlüğü 0,1 açı saniyesi ise, 25 metre çapındaki bir teleskobun çözünürlüğü kaç açı saniyesidir?
A) 0,025
B) 0,25
C) 0,4
D) 0,5
Bu soruda, radyo teleskoplarının önemli bir özelliği olan çözünürlük kavramını ve anten çapıyla olan ilişkisini inceleyeceğiz. Çözünürlük, bir teleskobun gökyüzündeki iki yakın nesneyi birbirinden ayırabilme yeteneğidir. Ne kadar küçük bir açı saniyesi değeri varsa, çözünürlük o kadar iyidir.
- Adım 1: Sorudaki temel ilişkiyi anlama
- Soruda bize, bir radyo teleskobunun çözünürlüğünün anten çapıyla ters orantılı olduğu bilgisi verilmiştir. Bu ne anlama geliyor? Şunu anlama geliyor: Anten çapı büyüdükçe çözünürlük değeri küçülür (daha iyi çözünürlük); anten çapı küçüldükçe çözünürlük değeri büyür (daha kötü çözünürlük).
- Matematiksel olarak bu ilişkiyi şöyle ifade edebiliriz: Çözünürlük ($R$) $\propto \frac{1}{\text{Anten Çapı } (D)}$.
- Bu orantıyı bir eşitliğe dönüştürmek için bir sabit ($k$) kullanabiliriz: $R = \frac{k}{D}$.
- Bu eşitlikten, $R \cdot D = k$ sonucunu çıkarabiliriz. Yani, çözünürlük ile anten çapının çarpımı her zaman sabit bir değerdir. Bu, farklı teleskoplar için $R_1 \cdot D_1 = R_2 \cdot D_2$ şeklinde bir denklem kurabileceğimiz anlamına gelir.
- Adım 2: Verilen değerleri belirleme
- İlk durum için verilenler: Anten Çapı ($D_1$) = 100 metre ve Çözünürlük ($R_1$) = 0,1 açı saniyesi.
- İkinci durum için verilenler: Anten Çapı ($D_2$) = 25 metre. İkinci durumdaki çözünürlüğü ($R_2$) bulmamız isteniyor.
- Adım 3: Denklemi kurma ve çözme
- Adım 1'de belirlediğimiz gibi, çözünürlük ile anten çapının çarpımı sabittir. Bu yüzden, iki farklı durum için bu çarpım birbirine eşit olmalıdır:
- $R_1 \cdot D_1 = R_2 \cdot D_2$
- Şimdi bilinen değerleri bu denkleme yerleştirelim:
- $0,1 \text{ açı saniyesi} \cdot 100 \text{ metre} = R_2 \cdot 25 \text{ metre}$
- Denklemin sol tarafını hesaplayalım:
- $0,1 \cdot 100 = 10$
- Yani denklemimiz şöyle oldu:
- $10 = R_2 \cdot 25$
- Şimdi $R_2$'yi yalnız bırakmak için her iki tarafı 25'e bölelim:
- $R_2 = \frac{10}{25}$
- Bu kesri sadeleştirelim veya ondalık sayıya çevirelim:
- $R_2 = \frac{2}{5}$
- $R_2 = 0,4$
- Demek ki, 25 metre çapındaki teleskobun çözünürlüğü 0,4 açı saniyesidir.
Gördüğünüz gibi, anten çapı 100 metreden 25 metreye (yani 4 kat) küçüldüğünde, çözünürlük değeri 0,1'den 0,4'e (yani 4 kat) büyüdü. Bu da ters orantı kuralına tamamen uymaktadır.
Cevap C seçeneğidir.
