Astronomide ve Mühendislikte Üslü ve Köklü Gösterimler Test 3

Bir gezegenden kaçış hızı, gezegenin kütlesinin kareköküyle doğru, yarıçapının kareköküyle ters orantılıdır. Dünya'dan kaçış hızı 11,2 km/sn'dir. Kütlesi Dünya'nın 4 katı, yarıçapı Dünya'nın 2 katı olan bir gezegenden kaçış hızı kaç km/sn'dir?

A) 11,2
B) 15,8
C) 22,4
D) 31,6

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu tür orantı problemlerini çözerken, verilen bilgileri matematiksel bir ifadeye dönüştürmek ve adım adım ilerlemek çok önemlidir. Haydi, bu gezegenden kaçış hızı problemini birlikte çözelim:

• 1. Adım: Kaçış Hızı Formülünü Belirleyelim

  Soruda bize kaçış hızının gezegenin kütlesinin kareköküyle doğru, yarıçapının kareköküyle ters orantılı olduğu söyleniyor. Bu ifadeyi matematiksel olarak şöyle yazabiliriz:

  $V_e = k \frac{\sqrt{M}}{\sqrt{R}}$

  Burada:

  • $V_e$: Kaçış hızı
  • $M$: Gezegenin kütlesi
  • $R$: Gezegenin yarıçapı
  • $k$: Bir orantı sabiti (bu sabiti bulmamıza gerek kalmayacak, çünkü oranlama yapacağız)
• 2. Adım: Dünya İçin Denklemi Yazalım

  Dünya'dan kaçış hızı $V_{e,Dünya}$ için bu formülü uygulayalım:

  $V_{e,Dünya} = k \frac{\sqrt{M_{Dünya}}}{\sqrt{R_{Dünya}}}$

  Biliyoruz ki $V_{e,Dünya} = 11,2$ km/sn.

• 3. Adım: Yeni Gezegen İçin Bilgileri Yerine Koyalım

  Yeni gezegenin kütlesi Dünya'nın 4 katı, yarıçapı ise Dünya'nın 2 katı olarak verilmiş. Bu bilgileri matematiksel olarak ifade edelim:

  • $M_{Gezegen} = 4 \times M_{Dünya}$
  • $R_{Gezegen} = 2 \times R_{Dünya}$

  Şimdi bu değerleri yeni gezegenin kaçış hızı formülüne yerleştirelim:

  $V_{e,Gezegen} = k \frac{\sqrt{M_{Gezegen}}}{\sqrt{R_{Gezegen}}}$

  $V_{e,Gezegen} = k \frac{\sqrt{4 M_{Dünya}}}{\sqrt{2 R_{Dünya}}}$

• 4. Adım: Denklemi Sadeleştirelim

  Kareköklü ifadeleri ayıralım ve sadeleştirelim:

  $V_{e,Gezegen} = k \frac{\sqrt{4} \times \sqrt{M_{Dünya}}}{\sqrt{2} \times \sqrt{R_{Dünya}}}$

  Biliyoruz ki $\sqrt{4} = 2$. O zaman denklem şöyle olur:

  $V_{e,Gezegen} = k \frac{2 \times \sqrt{M_{Dünya}}}{\sqrt{2} \times \sqrt{R_{Dünya}}}$

  Bu ifadeyi yeniden düzenleyerek Dünya'nın kaçış hızı denklemine benzetelim:

  $V_{e,Gezegen} = \left( \frac{2}{\sqrt{2}} \right) \times \left( k \frac{\sqrt{M_{Dünya}}}{\sqrt{R_{Dünya}}} \right)$

• 5. Adım: Dünya'nın Kaçış Hızıyla İlişkilendirelim

  Parantez içindeki ikinci kısım, tam olarak Dünya'nın kaçış hızı formülüdür ($V_{e,Dünya}$). O halde yerine yazabiliriz:

  $V_{e,Gezegen} = \left( \frac{2}{\sqrt{2}} \right) \times V_{e,Dünya}$

  Şimdi $\frac{2}{\sqrt{2}}$ ifadesini sadeleştirelim. Pay ve paydayı $\sqrt{2}$ ile çarparsak:

  $\frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

  Yani, yeni gezegenin kaçış hızı Dünya'nın kaçış hızının $\sqrt{2}$ katıdır:

  $V_{e,Gezegen} = \sqrt{2} \times V_{e,Dünya}$

• 6. Adım: Sayısal Değeri Hesaplayalım

  Dünya'dan kaçış hızı $11,2$ km/sn olarak verilmişti. $\sqrt{2}$'nin yaklaşık değeri $1,414$tür.

  $V_{e,Gezegen} = 1,414 \times 11,2$ km/sn

  $V_{e,Gezegen} \approx 15,8368$ km/sn

  Bu değeri en yakın seçeneğe yuvarladığımızda $15,8$ km/sn buluruz.

Cevap B seçeneğidir.