Astronomide ve Mühendislikte Üslü ve Köklü Gösterimler Test 3

Bir teleskobun ışık toplama gücü, ayna alanıyla doğru orantılıdır. 50 cm çapındaki bir teleskop 100 birim ışık topluyorsa, 75 cm çapındaki bir teleskop kaç birim ışık toplar?

A) 150
B) 200
C) 225
D) 250

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, teleskopların ışık toplama gücünün ayna alanıyla nasıl ilişkili olduğunu ve bu bilgiyi kullanarak farklı çaptaki teleskopların ne kadar ışık toplayacağını öğreneceğiz. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Adım: Temel Prensibi Anlayalım

  Soruda belirtildiği gibi, bir teleskobun ışık toplama gücü, aynasının alanıyla doğru orantılıdır. Bu ne demek? Yani ayna alanı ne kadar büyükse, teleskop o kadar fazla ışık toplar. Bu mantıklı, çünkü daha büyük bir ayna, uzaydan gelen daha fazla fotonu (ışık parçacığını) yakalayabilir.

• 2. Adım: Ayna Alanını Hesaplayalım

  Teleskop aynaları genellikle daireseldir. Bir dairenin alanı, çapı ($D$) cinsinden şu formülle bulunur: $A = \pi \left( \frac{D}{2} \right)^2$ veya $A = \frac{\pi D^2}{4}$. Gördüğünüz gibi, alan çapın karesiyle orantılıdır. Yani çap iki katına çıkarsa, alan dört katına çıkar!

• 3. Adım: Orantıyı Kuralım

  Işık toplama gücü ($L$) ayna alanıyla ($A$) doğru orantılı olduğu için, iki farklı teleskop için şu oranı yazabiliriz:

  $\frac{\text{Teleskop 1'in Işık Toplama Gücü}}{\text{Teleskop 1'in Ayna Alanı}} = \frac{\text{Teleskop 2'nin Işık Toplama Gücü}}{\text{Teleskop 2'nin Ayna Alanı}}$

  Veya kısaca: $\frac{L_1}{A_1} = \frac{L_2}{A_2}$

• 4. Adım: Bilinen Değerleri Yerine Koyalım

  Bize verilenler:

  • Teleskop 1: Çap ($D_1$) = 50 cm, Işık Toplama Gücü ($L_1$) = 100 birim.
  • Teleskop 2: Çap ($D_2$) = 75 cm, Işık Toplama Gücü ($L_2$) = ?

  Ayna alanlarını çap cinsinden yazarsak:

  $A_1 = \frac{\pi (50)^2}{4}$

  $A_2 = \frac{\pi (75)^2}{4}$

  Şimdi orantı formülünde yerine koyalım:

  $\frac{100}{\frac{\pi (50)^2}{4}} = \frac{L_2}{\frac{\pi (75)^2}{4}}$

• 5. Adım: Denklemi Çözelim

  Denklemdeki $\frac{\pi}{4}$ terimleri her iki tarafta da olduğu için sadeleşir. Böylece denklemimiz daha basit hale gelir:

  $\frac{100}{(50)^2} = \frac{L_2}{(75)^2}$

  Şimdi $L_2$'yi yalnız bırakalım:

  $L_2 = 100 \times \frac{(75)^2}{(50)^2}$

  $L_2 = 100 \times \left( \frac{75}{50} \right)^2$

  Parantez içindeki kesri sadeleştirelim ($75/50 = 3/2$):

  $L_2 = 100 \times \left( \frac{3}{2} \right)^2$

  $L_2 = 100 \times \frac{9}{4}$

  $L_2 = \frac{900}{4}$

  $L_2 = 225$ birim

Yani 75 cm çapındaki teleskop, 225 birim ışık toplar.

Cevap C seçeneğidir.