Bir uzay aracının yörünge enerjisi, yarı büyük eksenin kareköküyle ters orantılıdır. Dairesel yörüngede bulunan bir uzay aracının yarıçapı 4R iken enerjisi E'dir. Yarıçapı R'ye düşürüldüğünde enerjisi ne olur?
A) E/2Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir uzay aracının yörünge enerjisi ile yörüngesinin yarı büyük ekseni arasındaki ilişkiyi kullanarak enerji değişimini bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
Soruda bize "Bir uzay aracının yörünge enerjisi, yarı büyük eksenin kareköküyle ters orantılıdır" deniyor. Matematiksel olarak bunu şöyle ifade edebiliriz:
$E_{yörünge} \propto \frac{1}{\sqrt{a}}$
Burada $E_{yörünge}$ yörünge enerjisi, $a$ ise yarı büyük eksendir. Ters orantı demek, bir değer artarken diğerinin azalması demektir. Orantıyı bir eşitliğe çevirmek için bir sabit ($k$) kullanabiliriz:
$E_{yörünge} = \frac{k}{\sqrt{a}}$
Dairesel yörüngelerde, yarı büyük eksen ($a$) yörünge yarıçapına ($r$) eşittir. Bu durumda, dairesel yörüngeler için enerji formülümüz şöyle olur:
$E_{yörünge} = \frac{k}{\sqrt{r}}$
Uzay aracının başlangıçta yarıçapı $4R$ iken enerjisi $E$ olarak verilmiş. Bu bilgiyi formülümüze yerleştirelim:
$E = \frac{k}{\sqrt{4R}}$
Karekök içindeki $4$'ü dışarı çıkarabiliriz ($ \sqrt{4} = 2 $):
$E = \frac{k}{2\sqrt{R}}$ (Denklem 1)
Şimdi uzay aracının yarıçapı $R$'ye düşürüldüğünde enerjisinin ne olacağını bulmak istiyoruz. Yeni enerjiye $E'$ diyelim. Formülümüzü yeni yarıçap için yazalım:
$E' = \frac{k}{\sqrt{R}}$ (Denklem 2)
Denklem 1'den $k$ sabitini çekelim:
$k = E \cdot 2\sqrt{R}$
Şimdi bu $k$ değerini Denklem 2'deki yerine koyalım:
$E' = \frac{E \cdot 2\sqrt{R}}{\sqrt{R}}$
Gördüğünüz gibi, pay ve paydadaki $\sqrt{R}$ ifadeleri birbirini götürür:
$E' = E \cdot 2$
$E' = 2E$
Yani, uzay aracının yarıçapı $4R$'den $R$'ye düşürüldüğünde, yörünge enerjisi $E$'den $2E$'ye çıkar. Bu, yarıçap azaldıkça enerjinin arttığını gösterir, ki bu da ters orantı tanımına uygundur.
Cevap C seçeneğidir.
