Vektörlerin dikliği (İç çarpım = 0) Test 2

$\vec{p} = (2, -1, 3)$ ve $\vec{q} = (k, 4, -2)$ vektörleri dik olduğuna göre, k kaçtır?

A) -5
B) 5
C) -7
D) 7

Bu soruyu çözmek için, iki vektörün birbirine dik (ortogonal) olması durumunda geçerli olan temel bir vektör özelliğini kullanacağız: Skaler Çarpım (Nokta Çarpım).

• 1. Adım: Dik Vektörler ve Skaler Çarpım Kuralı

  İki vektörün birbirine dik olması, aralarındaki açının $90^\circ$ olduğu anlamına gelir. Matematikte bu durumu ifade etmenin en pratik yolu, onların skaler çarpımının sıfıra eşit olmasıdır. Yani, eğer $\vec{p}$ ve $\vec{q}$ vektörleri dik ise, $\vec{p} \cdot \vec{q} = 0$ olmalıdır.

• 2. Adım: Skaler Çarpım Nasıl Hesaplanır?

  İki vektörün skaler çarpımı, karşılıklı bileşenlerinin çarpımlarının toplamıdır. Eğer $\vec{p} = (p_1, p_2, p_3)$ ve $\vec{q} = (q_1, q_2, q_3)$ ise, skaler çarpım şu şekilde hesaplanır:

  $\vec{p} \cdot \vec{q} = p_1 q_1 + p_2 q_2 + p_3 q_3$

• 3. Adım: Verilen Vektörlerin Skaler Çarpımını Hesaplayalım

  Soruda verilen vektörler $\vec{p} = (2, -1, 3)$ ve $\vec{q} = (k, 4, -2)$ şeklindedir. Şimdi bu vektörlerin skaler çarpımını yukarıdaki formülü kullanarak hesaplayalım:

  $\vec{p} \cdot \vec{q} = (2)(k) + (-1)(4) + (3)(-2)$

  $\vec{p} \cdot \vec{q} = 2k - 4 - 6$

  $\vec{p} \cdot \vec{q} = 2k - 10$

• 4. Adım: Skaler Çarpımı Sıfıra Eşitleyelim ve $k$ Değerini Bulalım

  Vektörler dik olduğu için, 1. adımda belirttiğimiz kurala göre skaler çarpımın sıfır olması gerekir. Bu nedenle, bulduğumuz ifadeyi sıfıra eşitleyelim ve $k$ değerini çözelim:

  $2k - 10 = 0$

  Şimdi denklemi $k$ için çözelim:

  $2k = 10$

  $k = \frac{10}{2}$

  $k = 5$

Buna göre, $k$ değeri $5$'tir.

Cevap B seçeneğidir.