Ekstremum noktaları ve türev ilişkisi (Birinci türev testi) Test 1

f(x) = x³ - 3x² + 4 fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarını bulmak için birinci türev testi uygulandığında, türevin işaret tablosunda x=0 ve x=2 noktalarında ne gözlemlenir?

A) x=0'da yerel maksimum, x=2'de yerel minimum
B) x=0'da yerel minimum, x=2'de yerel maksimum
C) Her ikisi de yerel minimum
D) Her ikisi de yerel maksimum

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarını bulmak, o fonksiyonun grafiğinin "tepelerini" (yerel maksimum) ve "çukurlarını" (yerel minimum) tespit etmek anlamına gelir. Bu işlemi yaparken en sık kullandığımız yöntemlerden biri Birinci Türev Testi'dir. Şimdi adım adım bu testi uygulayarak sorumuzu çözelim.

• Adım 1: Fonksiyonun Birinci Türevini Bulma

  Öncelikle, verilen $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ fonksiyonunun birinci türevini ($f'(x)$) almalıyız. Türev alma kurallarını hatırlayalım:

  • $x^n$ teriminin türevi $nx^{n-1}$'dir.
  • Sabit bir sayının türevi $0$'dır.

  Bu kuralları uygulayarak $f'(x)$'i hesaplayalım:

  $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(4)$

  $f'(x) = 3x^{3-1} - 3 \cdot 2x^{2-1} + 0$

  $f'(x) = 3x^2 - 6x$

• Adım 2: Kritik Noktaları Bulma

  Yerel ekstremum noktalarının adayları, türevin sıfır olduğu veya tanımsız olduğu noktalardır. $f'(x)$ bir polinom olduğu için her yerde tanımlıdır, bu yüzden sadece $f'(x) = 0$ denklemini çözmeliyiz:

  $3x^2 - 6x = 0$

  Bu denklemi çözmek için ortak çarpan parantezine alalım:

  $3x(x - 2) = 0$

  Bu eşitliğin sağlanması için ya $3x = 0$ ya da $x - 2 = 0$ olmalıdır.

  • $3x = 0 \implies x = 0$
  • $x - 2 = 0 \implies x = 2$

  Böylece, kritik noktalarımız $x=0$ ve $x=2$ olarak bulunur.

• Adım 3: Birinci Türevin İşaret Tablosunu Oluşturma

  Şimdi, kritik noktaların solunda ve sağında $f'(x)$'in işaretini inceleyerek fonksiyonun artan mı yoksa azalan mı olduğunu belirleyeceğiz. Bu bize yerel ekstremumların türünü söyleyecek.

  Sayı doğrusunu kritik noktalarımız olan $x=0$ ve $x=2$ ile üç aralığa ayıralım: $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$ ve $(2, \infty)$. Her aralıktan bir test noktası seçerek $f'(x) = 3x(x-2)$'nin işaretini bulalım:

  • Aralık $(-\infty, 0)$ için:

    Örneğin, $x = -1$ seçelim.

    $f'(-1) = 3(-1)(-1 - 2) = (-3)(-3) = 9$

    İşaret pozitif ($+$). Bu aralıkta fonksiyon artandır.

  • Aralık $(0, 2)$ için:

    Örneğin, $x = 1$ seçelim.

    $f'(1) = 3(1)(1 - 2) = (3)(-1) = -3$

    İşaret negatif ($-$). Bu aralıkta fonksiyon azalandır.

  • Aralık $(2, \infty)$ için:

    Örneğin, $x = 3$ seçelim.

    $f'(3) = 3(3)(3 - 2) = (9)(1) = 9$

    İşaret pozitif ($+$). Bu aralıkta fonksiyon artandır.

  İşaret tablosu aşağıdaki gibi olacaktır:

  $x$ | ... $(-\infty)$ | $0$ | $(0, 2)$ | $2$ | $(2, \infty)$ ...
  $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$
  $f(x)$ | Artan $\nearrow$ | Yerel Maksimum | Azalan $\searrow$ | Yerel Minimum | Artan $\nearrow$

• Adım 4: Yerel Ekstremum Noktalarını Belirleme

  İşaret tablosunu yorumlayalım:

  • $x=0$ noktasında:

    $f'(x)$'in işareti pozitiften ($+$) negatife ($-$) değişiyor. Fonksiyon önce artıyor, sonra azalmaya başlıyor. Bu durum, $x=0$ noktasında bir yerel maksimum olduğunu gösterir.

  • $x=2$ noktasında:

    $f'(x)$'in işareti negatiften ($-$) pozitife ($+$) değişiyor. Fonksiyon önce azalıyor, sonra artmaya başlıyor. Bu durum, $x=2$ noktasında bir yerel minimum olduğunu gösterir.

Bu gözlemlerimiz, seçenekler arasında A seçeneği ile birebir örtüşmektedir.

Cevap A seçeneğidir.