Ekstremum noktaları ve türev ilişkisi (Birinci türev testi) Test 1

f(x) = x⁴ - 4x³ fonksiyonunun kritik noktaları nelerdir?

A) x=0 ve x=3
B) x=1 ve x=3
C) x=0 ve x=4
D) x=2 ve x=3

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bir fonksiyonun kritik noktalarını bulmak, o fonksiyonun yerel maksimum ve minimum değerlerini veya büküm noktalarını anlamak için çok önemlidir. Kritik noktalar, fonksiyonun türevinin sıfır olduğu veya tanımsız olduğu noktalardır. Şimdi, $f(x) = x^4 - 4x^3$ fonksiyonunun kritik noktalarını adım adım bulalım:

• Adım 1: Fonksiyonun Birinci Türevini Bulma

Kritik noktaları bulmak için öncelikle fonksiyonun birinci türevini ($f'(x)$) almamız gerekir. Fonksiyonumuz $f(x) = x^4 - 4x^3$ şeklindedir.

Türev kurallarını uygulayarak:

• $x^n$ fonksiyonunun türevi $nx^{n-1}$'dir.

Buna göre:

• $x^4$'ün türevi $4x^{4-1} = 4x^3$'tür.
• $4x^3$'ün türevi $4 \cdot 3x^{3-1} = 12x^2$'dir.

Dolayısıyla, $f'(x) = 4x^3 - 12x^2$ olur.

• Adım 2: Birinci Türevi Sıfıra Eşitleme

Kritik noktalar, türevin sıfır olduğu veya tanımsız olduğu noktalardır. $f'(x)$ bir polinom olduğu için her yerde tanımlıdır, bu yüzden tanımsız olduğu bir nokta yoktur. Sadece türevin sıfır olduğu noktaları bulmalıyız:

$f'(x) = 0$

$4x^3 - 12x^2 = 0$

• Adım 3: Denklemi Çözme

Şimdi $4x^3 - 12x^2 = 0$ denklemini $x$ için çözmeliyiz. Denklemi çarpanlarına ayırabiliriz. Her iki terimde de $4x^2$ ortak çarpanı bulunmaktadır:

$4x^2(x - 3) = 0$

Bir çarpımın sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir. Bu durumda iki olası durum vardır:

• Durum 1: $4x^2 = 0$

Bu denklemi çözdüğümüzde $x^2 = 0$ ve dolayısıyla $x = 0$ bulunur.

• Durum 2: $x - 3 = 0$

Bu denklemi çözdüğümüzde $x = 3$ bulunur.

• Adım 4: Kritik Noktaları Belirleme

Bulduğumuz $x$ değerleri, fonksiyonun kritik noktalarıdır. Bu değerler $x=0$ ve $x=3$'tür.

Bu adımları takip ederek $f(x) = x^4 - 4x^3$ fonksiyonunun kritik noktalarını $x=0$ ve $x=3$ olarak bulduk.

Cevap A seçeneğidir.