f(x) = x² - 4x + 3 fonksiyonunun yerel ekstremum noktasının koordinatları nedir?
Merhaba sevgili öğrenciler! Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktasını bulmak, o fonksiyonun en küçük veya en büyük değerini aldığı noktayı tespit etmek anlamına gelir. Bu tür noktaları bulmak için türev alma ve türevi sıfıra eşitleme yöntemini kullanırız. Şimdi adım adım sorumuzu çözelim:
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarını bulmak için ilk yapmamız gereken, o fonksiyonun birinci türevini almaktır. Türev, fonksiyonun eğimini temsil eder ve ekstremum noktalarında eğim sıfırdır.
Verilen fonksiyonumuz: $f(x) = x^2 - 4x + 3$
Bu fonksiyonun türevini alırken her terimin türevini ayrı ayrı alırız. $x^2$'nin türevi $2x$'tir, $-4x$'in türevi $-4$'tür ve sabit sayı olan $3$'ün türevi $0$'dır.
Dolayısıyla, fonksiyonun birinci türevi $f'(x) = 2x - 4$ olur.
Yerel ekstremum noktalarında fonksiyonun eğimi sıfır olduğu için, bulduğumuz türev ifadesini sıfıra eşitleyerek ekstremum noktasının x-koordinatını buluruz.
$f'(x) = 0$
$2x - 4 = 0$
Şimdi bu denklemi $x$ için çözelim:
$2x = 4$
$x = \frac{4}{2}$
$x = 2$
Bu, yerel ekstremum noktasının x-koordinatıdır.
Ekstremum noktasının koordinatlarını bulmak için, bulduğumuz $x = 2$ değerini orijinal $f(x)$ fonksiyonunda yerine koyarak y-koordinatını (fonksiyonun değerini) hesaplamalıyız.
$f(x) = x^2 - 4x + 3$
$f(2) = (2)^2 - 4(2) + 3$
$f(2) = 4 - 8 + 3$
$f(2) = -4 + 3$
$f(2) = -1$
Bu, yerel ekstremum noktasının y-koordinatıdır.
Bulduğumuz x ve y değerlerini birleştirerek yerel ekstremum noktasının koordinatlarını yazabiliriz.
x-koordinatı: $2$
y-koordinatı: $-1$
Yerel ekstremum noktası $(2, -1)$'dir.
Ek bilgi olarak, $f(x) = x^2 - 4x + 3$ fonksiyonu bir paraboldür ve $x^2$ teriminin katsayısı pozitif ($1 > 0$) olduğu için parabol yukarı doğru açılır. Bu da bulduğumuz noktanın bir yerel minimum noktası olduğunu gösterir.
Seçeneklere baktığımızda, bulduğumuz $(2, -1)$ noktası A seçeneğinde yer almaktadır.
Cevap A seçeneğidir.
