Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki yerel maksimum noktalarını nasıl bulacağımızı adım adım öğreneceğiz. Fonksiyonumuz $f(x) = \sin(x)$ ve aralığımız $[0, 2\pi]$.
- Adım 1: Yerel Maksimum Noktalarını Anlamak
- Bir fonksiyonun yerel maksimum noktaları, o noktanın yakın çevresindeki diğer tüm noktalardan daha yüksek bir değere sahip olduğu noktalardır. Bu noktaları bulmak için genellikle türev testlerini kullanırız.
- Adım 2: Fonksiyonun Birinci Türevini Bulmak
- Yerel maksimum veya minimum noktalarını bulmak için ilk adım, fonksiyonun birinci türevini ($f'(x)$) almaktır. Birinci türevin sıfır olduğu noktalar, kritik noktalar olarak adlandırılır ve bu noktalarda yerel ekstremumlar (maksimum veya minimum) bulunabilir.
- $f(x) = \sin(x)$ fonksiyonunun birinci türevi:
- $f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)$
- Adım 3: Kritik Noktaları Bulmak
- Şimdi, birinci türevi sıfıra eşitleyerek kritik noktaları bulalım:
- $f'(x) = \cos(x) = 0$
- $[0, 2\pi]$ aralığında $\cos(x) = 0$ denklemini sağlayan $x$ değerleri şunlardır:
- $x = \frac{\pi}{2}$
- $x = \frac{3\pi}{2}$
- Bu iki nokta bizim kritik noktalarımızdır.
- Adım 4: İkinci Türev Testini Uygulamak
- Kritik noktaların yerel maksimum mu yoksa yerel minimum mu olduğunu belirlemek için ikinci türev testini kullanabiliriz. Bunun için fonksiyonun ikinci türevini ($f''(x)$) bulmamız gerekir.
- $f'(x) = \cos(x)$ olduğundan, ikinci türev:
- $f''(x) = \frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x)$
- Şimdi, bulduğumuz kritik noktaları ikinci türevde yerine koyalım:
- $x = \frac{\pi}{2}$ için:
- $f''\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1$
- İkinci türevin değeri negatif ($f''\left(\frac{\pi}{2}\right) < 0$) olduğu için, $x = \frac{\pi}{2}$ noktasında bir yerel maksimum vardır.
- $x = \frac{3\pi}{2}$ için:
- $f''\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -(-1) = 1$
- İkinci türevin değeri pozitif ($f''\left(\frac{3\pi}{2}\right) > 0$) olduğu için, $x = \frac{3\pi}{2}$ noktasında bir yerel minimum vardır.
- Adım 5: Sonucu Belirlemek
- İkinci türev testi sonucunda, $f(x) = \sin(x)$ fonksiyonunun $[0, 2\pi]$ aralığındaki tek yerel maksimum noktası $x = \frac{\pi}{2}$ olarak bulunmuştur.
- Bu noktadaki fonksiyon değeri $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$'dir.
Cevap A seçeneğidir.
