M(-3,2) ve N(1,-2) noktalarına eşit uzaklıkta olan ve x-ekseni üzerinde bulunan noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) (0,0)
B) (1,0)
C) (-1,0)
D) (2,0)
Bu soruyu çözmek için öncelikle x-ekseni üzerindeki bir noktanın genel koordinatlarını belirleyelim. X-ekseni üzerinde bulunan bir noktanın y koordinatı her zaman 0'dır. Bu nedenle aradığımız nokta (x, 0) şeklinde olacaktır.
- Adım 1: M ve N noktalarına eşit uzaklıkta olma şartını matematiksel olarak ifade edelim. (x, 0) noktasının M(-3, 2) ve N(1, -2) noktalarına olan uzaklıkları eşit olmalıdır. İki nokta arasındaki uzaklık formülünü hatırlayalım: $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
- Adım 2: (x, 0) noktasının M(-3, 2) noktasına olan uzaklığını hesaplayalım: $\sqrt{(x - (-3))^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{(x + 3)^2 + 4}$
- Adım 3: (x, 0) noktasının N(1, -2) noktasına olan uzaklığını hesaplayalım: $\sqrt{(x - 1)^2 + (0 - (-2))^2} = \sqrt{(x - 1)^2 + 4}$
- Adım 4: Bu iki uzaklığı birbirine eşitleyelim: $\sqrt{(x + 3)^2 + 4} = \sqrt{(x - 1)^2 + 4}$
- Adım 5: Her iki tarafın karesini alarak kareköklerden kurtulalım: $(x + 3)^2 + 4 = (x - 1)^2 + 4$
- Adım 6: Denklemi basitleştirelim. Her iki taraftan 4'ü çıkarabiliriz: $(x + 3)^2 = (x - 1)^2$
- Adım 7: Parantezleri açalım: $x^2 + 6x + 9 = x^2 - 2x + 1$
- Adım 8: $x^2$ terimlerini sadeleştirelim ve x'li terimleri bir araya getirelim: $6x + 9 = -2x + 1$ => $8x = -8$
- Adım 9: x'i bulmak için her iki tarafı 8'e bölelim: $x = -1$
- Adım 10: Böylece aradığımız nokta (-1, 0) olur.
Cevap C seçeneğidir.
