Türev tanımı (Limit yardımıyla) Test 1

f(x) = √x fonksiyonunun x=4 noktasındaki türevi limit tanımıyla nasıl yazılır?

A) lim(h→0) [√(4+h) - 2]/h
B) lim(h→0) [√(4+h) - 4]/h
C) lim(h→0) [√(4+h) - h]/h
D) lim(h→0) [√(4+h) - 0]/h

Sevgili öğrenciler, bir fonksiyonun belirli bir noktadaki türevini limit tanımıyla yazmak, türevin temelini anlamak için çok önemlidir. Gelin, bu soruyu adım adım inceleyelim.

• Türevin Limit Tanımını Hatırlayalım:

  Bir $f(x)$ fonksiyonunun $x=a$ noktasındaki türevi, $f'(a)$, aşağıdaki limit tanımıyla verilir:

  $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

  Bu tanım, $x=a$ noktasındaki teğetin eğimini, yani anlık değişim oranını bulmamızı sağlar.

• Verilen Fonksiyon ve Noktayı Belirleyelim:

  Soruda bize verilen fonksiyon $f(x) = \sqrt{x}$ ve türevini bulmamız istenen nokta $x=4$. Yani, $a=4$ olarak alacağız.

• $f(a)$ Değerini Hesaplayalım:

  $a=4$ olduğu için, $f(a)$ değerini bulmak için $x=4$ değerini fonksiyonda yerine koyarız:

  $f(4) = \sqrt{4} = 2$

• $f(a+h)$ Değerini Hesaplayalım:

  $a=4$ olduğu için, $f(a+h)$ ifadesi $f(4+h)$ olur. Bunu bulmak için fonksiyonda $x$ yerine $(4+h)$ yazarız:

  $f(4+h) = \sqrt{4+h}$

• Türev Tanımında Yerine Koyalım:

  Şimdi bulduğumuz $f(4)$ ve $f(4+h)$ değerlerini türevin limit tanımında yerine yazalım:

  $f'(4) = \lim_{h \to 0} \frac{f(4+h) - f(4)}{h}$

  $f'(4) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{4+h} - 2}{h}$

• Seçeneklerle Karşılaştıralım:

  Elde ettiğimiz ifadeyi seçeneklerle karşılaştırdığımızda, A seçeneğinin bizim bulduğumuz ifadeyle tamamen aynı olduğunu görürüz.

  • A) $\lim_{h \to 0} [\sqrt{4+h} - 2]/h$
  • B) $\lim_{h \to 0} [\sqrt{4+h} - 4]/h$ (Burada $f(4)$ yerine $a=4$ yazılmış, yanlış.)
  • C) $\lim_{h \to 0} [\sqrt{4+h} - h]/h$ (Paydada $h$ yerine $f(4)$ olması gerekir, yanlış.)
  • D) $\lim_{h \to 0} [\sqrt{4+h} - 0]/h$ (Burada $f(4)$ yerine $0$ yazılmış, yanlış.)

Cevap A seçeneğidir.