Bugün sizlerle limit konusunda sıkça karşımıza çıkan önemli bir soruyu adım adım çözeceğiz. Sorumuz: $\lim_{x\to0} \frac{\sin3x}{x}$ limitinin değeri kaçtır?
Bu tür limit sorularını çözerken izleyeceğimiz adımlar şunlardır:
- Adım 1: Doğrudan Yerine Koyma ve Belirsizlik Durumunu Tespit Etme
- Öncelikle $x=0$ değerini fonksiyonda yerine koymayı deneyelim.
- $\frac{\sin(3 \cdot 0)}{0} = \frac{\sin(0)}{0} = \frac{0}{0}$
- Bu durum, matematikte bir belirsizlik olarak adlandırılır. Yani limitin var olup olmadığını veya değerini bulmak için başka yöntemlere başvurmamız gerektiğini gösterir.
- Adım 2: Temel Sinüs Limiti Kuralını Hatırlama
- Trigonometrik limitlerde en sık kullandığımız ve bilmemiz gereken temel kurallardan biri şudur: $\lim_{u\to0} \frac{\sin u}{u} = 1$.
- Bu kural, sinüs fonksiyonunun argümanı ile paydadaki ifadenin aynı olması ve bu ifadenin sıfıra yaklaşması durumunda limitin 1 olduğunu belirtir.
- Adım 3: İfadeyi Temel Limit Kuralına Uygun Hale Getirme
- Bizim ifademiz $\frac{\sin3x}{x}$. Temel kuralı uygulayabilmek için $\sin$ fonksiyonunun içindeki $3x$ ifadesi ile paydadaki ifadenin aynı olmasını sağlamalıyız.
- Paydada $x$ var, ama biz $3x$ olmasını istiyoruz. Bunu sağlamak için paydayı $3$ ile çarpmalıyız. Ancak bir kesrin değerini değiştirmemek için paydayı çarptığımız sayı ile kesri de çarpmalıyız.
- Yani ifadeyi $\frac{3}{3}$ ile çarparak genişletebiliriz:
- $\lim_{x\to0} \frac{\sin3x}{x} = \lim_{x\to0} \frac{\sin3x}{x} \cdot \frac{3}{3}$
- Bu işlemi düzenlersek:
- $\lim_{x\to0} 3 \cdot \frac{\sin3x}{3x}$
- Adım 4: Limit Özelliklerini Uygulama ve Değişken Değişimi (İsteğe Bağlı)
- Limitin bir özelliği, bir sabitin limit dışına alınabilmesidir: $\lim_{x\to a} [c \cdot f(x)] = c \cdot \lim_{x\to a} f(x)$.
- Bu özelliği kullanarak ifademizi şöyle yazabiliriz:
- $3 \cdot \lim_{x\to0} \frac{\sin3x}{3x}$
- Şimdi, daha net görmek için bir değişken değişimi yapabiliriz. $u = 3x$ diyelim.
- $x \to 0$ iken, $u \to 3 \cdot 0$, yani $u \to 0$ olur.
- Bu durumda limit ifademiz şuna dönüşür:
- $3 \cdot \lim_{u\to0} \frac{\sin u}{u}$
- Adım 5: Temel Limiti Uygulama ve Sonucu Bulma
- Adım 2'de hatırladığımız temel limit kuralına göre $\lim_{u\to0} \frac{\sin u}{u} = 1$ olduğunu biliyoruz.
- Bu değeri yerine koyarsak:
- $3 \cdot 1 = 3$
Böylece limitin değerini $3$ olarak bulmuş oluruz.
Cevap C seçeneğidir.
