Limit AYT Test 1

🎓 Limit AYT Test 1 - Ders Notu

Bu ders notu, Limit AYT Test 1'de karşılaşabileceğiniz temel limit kavramlarını ve limit alma yöntemlerini kapsamaktadır. Testte süreklilik ve belirsizlik durumları da önemli bir yer tutmaktadır.

📌 Limit Kavramı

Bir fonksiyonun bir noktaya yaklaşırken aldığı değerdir. Yani $x$, $a$'ya yaklaşırken $f(x)$ nereye gidiyor?

• Bir fonksiyonun limiti, o noktadaki değerine eşit olmak zorunda değildir.
• Limitin olabilmesi için sağdan ve soldan limitlerin eşit olması gerekir.

⚠️ Dikkat: Sağdan limit $\lim_{x \to a^+} f(x)$ ve soldan limit $\lim_{x \to a^-} f(x)$ birbirine eşit değilse, o noktada limit yoktur.

📌 Limit Alma Yöntemleri

Fonksiyonun türüne göre farklı limit alma yöntemleri uygulanır.

• Doğrudan Yerine Koyma: Eğer fonksiyon tanımlıysa, $x$ yerine limiti alınan değeri koyarız. Örneğin, $\lim_{x \to 2} (x^2 + 1) = 2^2 + 1 = 5$.
• Çarpanlara Ayırma: Eğer doğrudan yerine koyma belirsizlik yaratıyorsa (örneğin $\frac{0}{0}$), çarpanlara ayırarak sadeleştirme yapabiliriz.
• Eşlenikle Çarpma: Kök içeren ifadelerde, eşlenikle çarpıp bölerek ifadeyi sadeleştirebiliriz.

💡 İpucu: Belirsizlik durumlarında ( $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$ gibi) mutlaka bir sadeleştirme veya düzenleme yapmanız gerekir.

📌 Süreklilik

Bir fonksiyonun sürekli olması için üç şart sağlanmalıdır:

• Fonksiyon o noktada tanımlı olmalı.
• O noktada limiti olmalı.
• Limit değeri, fonksiyonun o noktadaki değerine eşit olmalı. Yani, $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.

⚠️ Dikkat: Bir fonksiyon bir noktada sürekli değilse, o noktada süreksizdir.

📌 Belirsizlik Durumları

Limitte bazı durumlarda belirsizlik ortaya çıkar. Bu durumlarda farklı yöntemler kullanarak belirsizliği gidermeye çalışırız.

• $\frac{0}{0}$ Belirsizliği: Çarpanlara ayırma, eşlenikle çarpma gibi yöntemlerle sadeleştirme yapılır.
• $\frac{\infty}{\infty}$ Belirsizliği: Pay ve paydanın en yüksek dereceli terimine bölünerek limit bulunur.

💡 İpucu: Belirsizlik durumlarında, fonksiyonu daha basit bir hale getirmek için cebirsel manipülasyonlar yapmaktan çekinmeyin.

📌 Trigonometrik Limitler

Trigonometrik fonksiyonların limitleri de AYT'de sıklıkla sorulur.

• $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
• $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$

📝 Not: Bu limitler, trigonometrik limit sorularını çözerken sıklıkla kullanılır.