Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda $f(x) = \frac{|x|}{x}$ fonksiyonunun $x$, 0'a soldan yaklaşırken limitini bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
-
Fonksiyonu Anlayalım: Bize verilen fonksiyon $f(x) = \frac{|x|}{x}$ şeklindedir. Bizden istenen, $x$ değeri 0'a soldan yaklaşırken bu fonksiyonun hangi değere yaklaştığını bulmaktır. Bu, matematiksel olarak $\lim_{x \to 0^-} f(x)$ şeklinde ifade edilir.
-
Mutlak Değer Tanımını Hatırlayalım: Mutlak değer fonksiyonu $|x|$'in tanımı, $x$'in işaretine göre değişir:
- Eğer $x \ge 0$ ise, $|x| = x$ olur.
- Eğer $x < 0$ ise, $|x| = -x$ olur.
-
Limitin Yönünü Dikkate Alalım: Biz $\lim_{x \to 0^-}$ limitini hesaplıyoruz. Bu, $x$ değerlerinin 0'dan küçük ama 0'a çok yakın sayılar olduğu anlamına gelir. Örneğin, $x$ değerleri $-0.1, -0.01, -0.001, \dots$ gibi olabilir. Bu durumda, $x$ her zaman 0'dan küçüktür ($x < 0$).
-
Fonksiyonu Yeniden Yazalım: $x < 0$ olduğu için, mutlak değer tanımına göre $|x|$ yerine $-x$ yazmalıyız.
Böylece, $x < 0$ iken fonksiyonumuz şu hale gelir:
$f(x) = \frac{-x}{x}$
-
Fonksiyonu Sadeleştirelim: Limit alırken $x$ hiçbir zaman tam olarak 0 olmaz, sadece 0'a yaklaşır. Dolayısıyla $x \neq 0$ olduğu için paydaki ve paydadaki $x$'leri sadeleştirebiliriz:
$f(x) = \frac{-x}{x} = -1$
Bu sadeleştirme, $x < 0$ olduğu sürece geçerlidir.
-
Limiti Hesaplayalım: Artık fonksiyonumuz $x < 0$ için sabit bir değer olan $-1$'e eşit. Sabit bir fonksiyonun limiti, o sabit değerin kendisidir.
Bu durumda, $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-1) = -1$.
Bu nedenle, $f(x) = \frac{|x|}{x}$ fonksiyonu için $\lim_{x \to 0^-} f(x)$ değeri $-1$'dir.
Cevap A seçeneğidir.
