Sayılar ve Kümeler ünitesi sıralı olma özelliği Test 1

Doğal sayılar kümesinde (N) $K = \{x \mid x \text{ çift sayı ve } x < 10\}$ kümesinin elemanları küçükten büyüğe doğru sıralandığında, ortadaki eleman hangisi olur?

A) 4
B) 6
C) 8
D) 5

Bu soruyu çözmek için adım adım ilerleyelim ve her adımı dikkatlice inceleyelim.

• 1. Adım: Doğal Sayılar Kümesini (N) Tanıyalım

  Doğal sayılar kümesi ($N$), genellikle sayma işleminde kullandığımız pozitif tam sayılardan oluşur. Yani $N = \{1, 2, 3, 4, \dots\}$ şeklindedir. Ancak, bazı kaynaklarda 0 da doğal sayı olarak kabul edilir ($N = \{0, 1, 2, 3, 4, \dots\}$). Çift sayılar söz konusu olduğunda 0 da çift sayı olarak kabul edildiği için, bu soruda 0'ı da doğal sayı olarak düşüneceğiz.

• 2. Adım: $K$ Kümesinin Şartlarını Anlayalım

  Bize verilen $K$ kümesi, $K = \{x \mid x \text{ çift sayı ve } x < 10\}$ şeklinde tanımlanmıştır. Bu tanım bize iki önemli şart sunuyor:

  • $x$ bir çift sayı olmalı: Çift sayılar, 2'ye kalansız bölünebilen sayılardır. Örneğin $0, 2, 4, 6, 8, 10, \dots$
  • $x$, 10'dan küçük olmalı: Yani $x < 10$ şartını sağlamalı.

• 3. Adım: $K$ Kümesinin Elemanlarını Bulalım

  Şimdi hem çift sayı olan hem de 10'dan küçük olan doğal sayıları listeleyelim:

  • $0$: Çift sayıdır ve $0 < 10$ şartını sağlar.
  • $2$: Çift sayıdır ve $2 < 10$ şartını sağlar.
  • $4$: Çift sayıdır ve $4 < 10$ şartını sağlar.
  • $6$: Çift sayıdır ve $6 < 10$ şartını sağlar.
  • $8$: Çift sayıdır ve $8 < 10$ şartını sağlar.
  • $10$: Çift sayıdır, ancak $10 < 10$ şartını sağlamaz (10, 10'dan küçük değildir). Bu yüzden 10'u kümemize dahil etmiyoruz.

  Buna göre, $K$ kümesinin elemanları $K = \{0, 2, 4, 6, 8\}$ olur.

• 4. Adım: Elemanları Küçükten Büyüğe Sıralayalım

  Soruda elemanların küçükten büyüğe doğru sıralanması isteniyor. Zaten bulduğumuz elemanlar doğal olarak küçükten büyüğe sıralıdır: $0, 2, 4, 6, 8$.

• 5. Adım: Ortadaki Elemanı Bulalım

  Kümemizde 5 tane eleman var: $0, 2, 4, 6, 8$. Ortadaki elemanı bulmak için, eleman sayısının tek olduğunu fark ederiz. Bu durumda, elemanları baştan ve sondan eşleştirerek ortadaki elemanı kolayca bulabiliriz:

  • $0$ (ilk eleman) ve $8$ (son eleman)
  • $2$ (ikinci eleman) ve $6$ (sondan ikinci eleman)
  • Geriye kalan eleman $4$'tür. Bu, kümenin tam ortasındaki elemandır.

  Veya, eleman sayısı $n$ olduğunda, ortadaki elemanın sırası $(n+1)/2$ formülüyle bulunur. Burada $n=5$ olduğu için $(5+1)/2 = 6/2 = 3$. Yani 3. sıradaki eleman ortadaki elemandır. Sıralamamızda 3. eleman $4$'tür.

Bu adımları takip ettiğimizde, $K$ kümesinin elemanları küçükten büyüğe sıralandığında ortadaki elemanın $4$ olduğunu buluruz.

Cevap A seçeneğidir.