Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, serbest düşen bir cismin hareketini inceleyeceğiz. Cisim, binanın tepesinden bırakıldığı için ilk hızı sıfırdır. Yer çekimi ivmesi ($g$) sabit olduğundan, cisim düzgün hızlanan hareket yapacaktır. Soruyu adım adım çözerek binanın yüksekliğini bulalım.
- Adım 1: Verilenleri ve Formülü Belirleyelim
- Cisim serbest bırakıldığı için ilk hızı $v_0 = 0 \text{ m/s}$'dir.
- Yer çekimi ivmesi $g = 10 \text{ m/s}^2$ olarak verilmiştir.
- Cisim son $45 \text{ metreyi } 1 \text{ saniyede}$ alıyor.
- Serbest düşmede alınan yol (yükseklik) formülü: $h = \frac{1}{2}gt^2$
- Binanın toplam yüksekliğine $H$, cismin yere düşme süresine ise $T$ diyelim.
- Adım 2: Toplam Yükseklik ve Toplam Süre İçin Denklem Kuralım
- Cisim, $T$ sürede $H$ yüksekliğini düşer. Bu durumda formülümüz:
- $H = \frac{1}{2}gT^2$
- $H = \frac{1}{2}(10)T^2$
- $H = 5T^2$ (Denklem 1)
- Adım 3: Son 45 Metrelik Mesafe İçin Denklem Kuralım
- Cisim, yere düşmeden önceki son $1 \text{ saniyede } 45 \text{ metre}$ yol alıyor.
- Bu, cismin $(T-1)$ saniyede $(H-45)$ metre düştüğü anlamına gelir.
- Bu durum için formülümüz:
- $H - 45 = \frac{1}{2}g(T-1)^2$
- $H - 45 = \frac{1}{2}(10)(T-1)^2$
- $H - 45 = 5(T-1)^2$ (Denklem 2)
- Adım 4: Denklemleri Birleştirerek $T$ Süresini Bulalım
- Denklem 1'deki $H$ değerini Denklem 2'de yerine yazalım:
- $5T^2 - 45 = 5(T-1)^2$
- Her iki tarafı $5$'e bölelim:
- $T^2 - 9 = (T-1)^2$
- Sağ tarafı açalım: $(T-1)^2 = T^2 - 2T + 1$
- Denklemimiz şimdi şöyle olur: $T^2 - 9 = T^2 - 2T + 1$
- Her iki taraftaki $T^2$ terimleri birbirini götürür:
- $-9 = -2T + 1$
- $-2T$'yi sol tarafa, $-9$'u sağ tarafa atalım:
- $2T = 1 + 9$
- $2T = 10$
- $T = 5 \text{ saniye}$
- Yani cisim toplam $5 \text{ saniye}$ boyunca düşmüştür.
- Adım 5: Binanın Toplam Yüksekliğini ($H$) Hesaplayalım
- Bulduğumuz $T = 5 \text{ saniye}$ değerini Denklem 1'de yerine yazalım:
- $H = 5T^2$
- $H = 5(5)^2$
- $H = 5(25)$
- $H = 125 \text{ metre}$
Buna göre binanın yüksekliği $125 \text{ metredir}$.
Cevap C seçeneğidir.
