f(x) = (3x³ - 2x + 1)/(x² + 1) fonksiyonunun eğik asimptotu var mıdır?
Bu soruda, verilen bir fonksiyonun eğik asimptotunun olup olmadığını ve varsa denklemini bulmamız isteniyor. Eğik asimptotları anlamak için adım adım ilerleyelim.
Bir rasyonel fonksiyonun $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ şeklinde verildiğini düşünelim. Eğik (veya eğimli) asimptotun var olabilmesi için paydaki polinomun ($P(x)$) derecesinin, paydadaki polinomun ($Q(x)$) derecesinden tam olarak bir fazla olması gerekir.
Verilen fonksiyonumuz $f(x) = \frac{3x^3 - 2x + 1}{x^2 + 1}$ şeklindedir.
Paydaki polinom $P(x) = 3x^3 - 2x + 1$'in derecesi 3'tür.
Paydadaki polinom $Q(x) = x^2 + 1$'in derecesi 2'dir.
Gördüğümüz gibi, payın derecesi (3), paydanın derecesinden (2) tam olarak bir fazladır ($3 = 2 + 1$). Bu durum, fonksiyonun bir eğik asimptota sahip olduğunu gösterir. Dolayısıyla, C ve D seçenekleri (asimptot yoktur veya yatay asimptot vardır) elenir.
Eğik asimptotun denklemini bulmak için, paydaki polinomu paydaya bölmemiz gerekir. Bu bölme işlemi sonucunda fonksiyonu $f(x) = ax + b + \frac{R(x)}{Q(x)}$ şeklinde ifade edebiliriz. Burada $y = ax + b$ eğik asimptotun denklemidir.
Şimdi $3x^3 - 2x + 1$ polinomunu $x^2 + 1$ polinomuna bölelim:
Bölme işlemini şu şekilde yaparız:
$3x^3 - 2x + 1$ ifadesini $x^2 + 1$ ile bölerken, öncelikle $3x^3$'ü elde etmek için $x^2$'yi $3x$ ile çarparız.
$(3x) \cdot (x^2 + 1) = 3x^3 + 3x$
Şimdi bu ifadeyi paydan çıkaralım:
$(3x^3 - 2x + 1) - (3x^3 + 3x) = 3x^3 - 2x + 1 - 3x^3 - 3x = -5x + 1$
Kalanımız $-5x + 1$ oldu. Kalanın derecesi (1), bölenin derecesinden (2) küçük olduğu için bölme işlemi burada sona erer.
Bölme sonucunda elde ettiğimiz ifade şöyledir:
$f(x) = 3x + \frac{-5x + 1}{x^2 + 1}$
Polinom bölmesi sonucunda elde ettiğimiz $ax + b$ şeklindeki kısım, eğik asimptotun denklemini verir. Bizim durumumuzda bu kısım $3x$'tir.
Dolayısıyla, fonksiyonun eğik asimptotu $y = 3x$ doğrusudur.
Bu sonuca göre seçenekleri değerlendirdiğimizde, doğru cevabın A seçeneği olduğunu görüyoruz.
Cevap A seçeneğidir.
