Bölüm şeklindeki ifadeler (1/x) polinom olur mu Test 1

Bir matematik öğretmeni tahtaya \( P(x) = \frac{1}{x} + 3x - 2 \) ifadesini yazmış ve öğrencilerinden bu ifadenin bir polinom olup olmadığını belirlemelerini istemiştir.
Buna göre, aşağıdaki öğrenci yorumlarından hangisi doğrudur?

A) Polinomdur çünkü tüm katsayılar reel sayıdır.
B) Polinomdur çünkü derecesi 1'dir.
C) Polinom değildir çünkü değişken paydada bulunur.
D) Polinom değildir çünkü sabit terimi yoktur.

Sevgili öğrenciler, bir ifadenin polinom olup olmadığını anlamak için dikkat etmemiz gereken temel kurallar vardır. Gelin, bu kuralları hatırlayarak verilen ifadeyi inceleyelim.

• Polinom Nedir?

  Bir ifadenin polinom olabilmesi için, değişkenin (burada $x$) tüm kuvvetlerinin doğal sayı (yani $0, 1, 2, 3, \dots$) olması ve katsayıların reel sayı olması gerekir. Başka bir deyişle, değişkenin üssü asla negatif veya kesirli olamaz ve değişken paydada bulunamaz.

• Verilen İfadeyi İnceleyelim:

  Matematik öğretmenimizin tahtaya yazdığı ifade $ P(x) = \frac{1}{x} + 3x - 2 $ şeklindedir.

• Terimleri Analiz Edelim:
  • İlk terim $ \frac{1}{x} $ ifadesidir. Bu ifadeyi üslü sayı olarak yazarsak $ x^{-1} $ olur.
  • İkinci terim $ 3x $ ifadesidir. Bu terimde $x$'in kuvveti $1$'dir ($ 3x^1 $).
  • Üçüncü terim $ -2 $ ifadesidir. Bu bir sabit terimdir ve $ -2x^0 $ olarak düşünülebilir.
• Polinom Kuralına Uygunluk:

  Şimdi terimlerin kuvvetlerini kontrol edelim:

  • $ x^{-1} $ terimindeki $x$'in kuvveti $ -1 $'dir. $ -1 $ bir doğal sayı değildir (negatif bir tam sayıdır).
  • $ 3x^1 $ terimindeki $x$'in kuvveti $ 1 $'dir. $ 1 $ bir doğal sayıdır.
  • $ -2x^0 $ terimindeki $x$'in kuvveti $ 0 $'dır. $ 0 $ bir doğal sayıdır.
• Sonuç:

  Gördüğümüz gibi, $ \frac{1}{x} $ terimi nedeniyle $x$'in kuvveti $ -1 $ olmuştur. Polinom tanımına göre, değişkenin kuvveti doğal sayı olmalıdır. $ -1 $ doğal sayı olmadığı için, $ P(x) = \frac{1}{x} + 3x - 2 $ ifadesi bir polinom değildir.

  Bu durum, değişkenin paydada bulunmasıyla aynı anlama gelir. Eğer bir değişken paydada ise, o terim polinomun bir parçası olamaz.

• Seçenekleri Değerlendirelim:
  • A) Polinomdur çünkü tüm katsayılar reel sayıdır.

    Katsayıların reel sayı olması polinom olmanın sadece bir şartıdır. Diğer önemli şart olan değişkenin kuvvetlerinin doğal sayı olması kuralı burada bozulmuştur.

  • B) Polinomdur çünkü derecesi 1'dir.

    İfade bir polinom olmadığı için derecesinden bahsetmek doğru değildir. Ayrıca, $ x^{-1} $ terimi de polinom tanımına aykırıdır.

  • C) Polinom değildir çünkü değişken paydada bulunur.

    Bu seçenek doğrudur. $ \frac{1}{x} $ teriminde değişken $x$ paydada bulunmaktadır. Bu da $ x^{-1} $ anlamına gelir ve $x$'in kuvveti doğal sayı olmadığı için ifade polinom değildir.

  • D) Polinom değildir çünkü sabit terimi yoktur.

    İfadeye baktığımızda $ -2 $ sabit terimini görüyoruz. Yani sabit terimi vardır. Sabit terimin olmaması bir ifadeyi polinom olmaktan çıkarmaz (örneğin $ P(x) = x^2 $ bir polinomdur ve sabit terimi $0$'dır).

Bu analizler sonucunda, doğru yorumun C seçeneğinde verildiğini açıkça görmekteyiz.

Cevap C seçeneğidir.