\( \frac{\sqrt{128} - \sqrt{50}}{\sqrt{8}} \) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( \sqrt{2} \)Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün sizlerle köklü sayılarla ilgili güzel bir işlem sorusunu adım adım çözeceğiz. Bu tür sorularda amacımız, köklü ifadeleri en sade hallerine getirerek işlemi kolaylaştırmaktır. Haydi başlayalım!
Köklü ifadeleri sadeleştirmek için kök içindeki sayının tam kare çarpanlarını bulmamız gerekir. Amacımız, kök dışına çıkarabildiğimiz kadar sayıyı çıkarmak.
$ 128 = 64 \times 2 $ olduğunu biliyoruz. $ 64 $ bir tam kare sayıdır ($ 8^2 = 64 $).
Bu durumda, $ \sqrt{128} = \sqrt{64 \times 2} = \sqrt{64} \times \sqrt{2} = 8\sqrt{2} $ olur.
$ 50 = 25 \times 2 $ olduğunu biliyoruz. $ 25 $ bir tam kare sayıdır ($ 5^2 = 25 $).
Bu durumda, $ \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2} $ olur.
$ 8 = 4 \times 2 $ olduğunu biliyoruz. $ 4 $ bir tam kare sayıdır ($ 2^2 = 4 $).
Bu durumda, $ \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2} $ olur.
Şimdi başlangıçtaki $ \frac{\sqrt{128} - \sqrt{50}}{\sqrt{8}} $ ifadesini, bulduğumuz sadeleşmiş halleriyle yeniden yazalım:
$ \frac{8\sqrt{2} - 5\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} $
Köklü ifadelerde toplama ve çıkarma yapabilmek için kök içindeki sayıların aynı olması gerekir. Bizim durumumuzda tüm kök içleri $ 2 $ olduğu için işlemi kolayca yapabiliriz.
$ 8\sqrt{2} - 5\sqrt{2} = (8-5)\sqrt{2} = 3\sqrt{2} $
Şimdi işlemimiz şu hale geldi:
$ \frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} $
Pay ve paydada ortak çarpan olan $ \sqrt{2} $ ifadelerini sadeleştirebiliriz.
$ \frac{3\cancel{\sqrt{2}}}{2\cancel{\sqrt{2}}} = \frac{3}{2} $
Böylece işlemin sonucunu $ \frac{3}{2} $ olarak bulmuş olduk.
Cevap C seçeneğidir.
