cot(x) fonksiyonunun türevi Test 1

cot(x) fonksiyonunun türevi aşağıdakilerden hangisidir?

A) -csc²(x)
B) csc²(x)
C) -sec²(x)
D) sec²(x)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün trigonometrik fonksiyonların türevleri konusundaki önemli bir soruyu adım adım çözeceğiz. Sorumuz, $cot(x)$ fonksiyonunun türevini bulmakla ilgili.

Bu tür bir türev alma işleminde genellikle iki yol izleyebiliriz: ya türev tanımını kullanırız (ki bu biraz uzun olabilir) ya da $cot(x)$'i bildiğimiz diğer trigonometrik fonksiyonlar cinsinden yazıp türev kurallarını uygularız. İkinci yolu tercih edeceğiz çünkü daha pratik ve anlaşılırdır.

• Adım 1: $cot(x)$ fonksiyonunu $sin(x)$ ve $cos(x)$ cinsinden ifade edelim.

  $cot(x)$ fonksiyonu, $cos(x)$'in $sin(x)$'e oranı olarak tanımlanır. Yani:

  $cot(x) = \frac{cos(x)}{sin(x)}$

  Bu ifade, bize bölüm kuralını kullanma imkanı sunar.

• Adım 2: Bölüm kuralını hatırlayalım.

  Eğer bir $h(x)$ fonksiyonu, $f(x)$ ve $g(x)$ gibi iki fonksiyonun bölümü şeklinde ise ($h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$), bu fonksiyonun türevi ( $h'(x)$ ) aşağıdaki formülle bulunur:

  $h'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$

  Burada $f'(x)$, $f(x)$'in türevi; $g'(x)$ ise $g(x)$'in türevidir.

• Adım 3: $f(x)$ ve $g(x)$ fonksiyonlarını ve türevlerini belirleyelim.

  Bizim durumumuzda $cot(x) = \frac{cos(x)}{sin(x)}$ olduğu için:

  • $f(x) = cos(x)$
  • $g(x) = sin(x)$

  Şimdi bu fonksiyonların türevlerini bulalım:

  • $f'(x) = \frac{d}{dx}(cos(x)) = -sin(x)$
  • $g'(x) = \frac{d}{dx}(sin(x)) = cos(x)$
• Adım 4: Bölüm kuralını uygulayalım.

  Bulduğumuz $f(x)$, $g(x)$, $f'(x)$ ve $g'(x)$ değerlerini bölüm kuralı formülünde yerine yazalım:

  $\frac{d}{dx}(cot(x)) = \frac{(-sin(x))(sin(x)) - (cos(x))(cos(x))}{[sin(x)]^2}$

• Adım 5: İfadeyi sadeleştirelim.

  Denklemi basitleştirelim:

  $\frac{d}{dx}(cot(x)) = \frac{-sin^2(x) - cos^2(x)}{sin^2(x)}$

  Pay kısmındaki $-sin^2(x) - cos^2(x)$ ifadesini $- (sin^2(x) + cos^2(x))$ şeklinde yazabiliriz.

  Temel trigonometrik özdeşliklerden bildiğimiz gibi, $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$'dir.

  Bu özdeşliği yerine koyarsak:

  $\frac{d}{dx}(cot(x)) = \frac{-1}{sin^2(x)}$

• Adım 6: Sonucu trigonometrik bir terimle ifade edelim.

  Biz biliyoruz ki $csc(x) = \frac{1}{sin(x)}$'tir. Dolayısıyla, $\frac{1}{sin^2(x)}$ ifadesi $csc^2(x)$ olarak yazılabilir.

  Bu durumda, türevimiz şu şekilde olur:

  $\frac{d}{dx}(cot(x)) = -csc^2(x)$

Bu sonuç, seçenekler arasında A seçeneğinde yer almaktadır.

Cevap A seçeneğidir.