cot(x) fonksiyonunun türevi

Question

cot(x)'in türev formülünü biliyorum ama bu sonuca nasıl ulaştığımızı anlamakta zorlanıyorum. Özellikle cot(x)'i cos(x)/sin(x) şeklinde yazıp bölüm kuralını uyguladığımızda işlemler karışıyor. Paydanın neden sin²x olduğunu ve neden eksi işareti çıktığını netleştirmek istiyorum.

Answer 1

📘 cot(x) Fonksiyonunun Türevi

Bu bölümde, cotanjant fonksiyonunun türevini nasıl bulacağımızı öğreneceğiz. cot(x), tan(x) fonksiyonunun çarpmaya göre tersi olarak tanımlanır:

\[ \cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \]

🎯 Türev Alma Kurallarını Hatırlayalım

• ✅ Bölüm kuralı: \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\)
• 📌 Trigonometrik fonksiyonların türevleri:
  • \(\frac{d}{dx}[\sin(x)] = \cos(x)\)
  • \(\frac{d}{dx}[\cos(x)] = -\sin(x)\)

🧮 cot(x)'in Türevini Hesaplama

cot(x) = \(\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\) olduğuna göre, bölüm kuralını uygulayabiliriz:

\[ \frac{d}{dx}[\cot(x)] = \frac{d}{dx}\left[\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\right] \]

Bölüm kuralını uygulayalım: \[ = \frac{(-\sin(x))\cdot\sin(x) - \cos(x)\cdot(\cos(x))}{[\sin(x)]^2} \]

Payı sadeleştirelim: \[ = \frac{-\sin^2(x) - \cos^2(x)}{\sin^2(x)} \]

Trigonometrik özdeşlik kullanalım (\(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\)): \[ = \frac{-(\sin^2(x) + \cos^2(x))}{\sin^2(x)} = \frac{-1}{\sin^2(x)} \]

Sonucu düzenleyelim: \[ \frac{d}{dx}[\cot(x)] = -\csc^2(x) \]

💡 Önemli Noktalar

• 📌 cot(x)'in türevi: \(-\csc^2(x)\)
• 📌 cosecant fonksiyonu: \(\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}\)
• 📌 Sonuç her zaman negatiftir (tanımlı olduğu aralıklarda)

📝 Örnek Problem

Örnek: \(f(x) = \cot(3x)\) fonksiyonunun türevini bulunuz.

Çözüm: Zincir kuralını uygulayalım: \[ f'(x) = -\csc^2(3x) \cdot 3 = -3\csc^2(3x) \]

🔍 Pratik İpucu

cot(x)'in türevinin her zaman negatif olduğunu unutmayın. Bu, fonksiyonun azalan bir fonksiyon olduğunu gösterir (tanımlı olduğu aralıklarda).