cot(x) fonksiyonunun türevi Test 1

f(x) = cot(3x) fonksiyonunun türevi nedir?

A) -3csc²(3x)
B) 3csc²(3x)
C) -csc²(3x)
D) csc²(3x)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, $f(x) = \cot(3x)$ fonksiyonunun türevini adım adım nasıl bulacağımızı öğreneceğiz. Bu tür fonksiyonların türevini alırken zincir kuralını kullanmamız gerektiğini unutmayın. Hadi başlayalım!

• Adım 1: Fonksiyonu Tanımlama ve Gerekli Kuralı Belirleme

  Verilen fonksiyon $f(x) = \cot(3x)$ şeklindedir. Bu bir bileşke fonksiyondur, yani bir fonksiyonun içine başka bir fonksiyon yerleştirilmiştir. Bu durumda, türev almak için zincir kuralını kullanmalıyız.

  Zincir kuralı der ki: Eğer $f(x) = g(h(x))$ ise, $f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)$ olur.

• Adım 2: Dış Fonksiyonun Türevini Hatırlama

  Burada dış fonksiyon $\cot(u)$ şeklindedir (burada $u$ bir değişkendir). $\cot(u)$'nun türevi $-\csc^2(u)$'dur.

  Yani, $\frac{d}{du}(\cot(u)) = -\csc^2(u)$.

• Adım 3: İç Fonksiyonu Belirleme

  $f(x) = \cot(3x)$ fonksiyonunda, dış fonksiyon $\cot(\text{iç})$ ve iç fonksiyon $3x$'tir.

  Bu durumda, $h(x) = 3x$ olarak alabiliriz.

• Adım 4: İç Fonksiyonun Türevini Bulma

  Şimdi iç fonksiyonumuz olan $h(x) = 3x$'in türevini alalım.

  $h'(x) = \frac{d}{dx}(3x) = 3$.

• Adım 5: Zincir Kuralını Uygulama

  Şimdi tüm parçaları bir araya getirelim. Zincir kuralına göre $f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)$ idi.

  • $g'(h(x))$ kısmı, dış fonksiyonun türevini (yani $-\csc^2(u)$) alıp $u$ yerine iç fonksiyonu ($3x$) yazmaktır: $-\csc^2(3x)$.
  • $h'(x)$ kısmı ise iç fonksiyonun türevidir: $3$.

  Bu ikisini çarptığımızda:

  $f'(x) = -\csc^2(3x) \cdot 3$

• Adım 6: Sonucu Düzenleme

  Türev ifadesini daha düzenli bir şekilde yazarsak:

  $f'(x) = -3\csc^2(3x)$

Bulduğumuz sonuç seçeneklerle karşılaştırıldığında, A seçeneği ile eşleşmektedir.

Cevap A seçeneğidir.