Sevgili öğrenciler, bu soruda $g(x) = x \cdot \cot(x)$ fonksiyonunun türevini bulmamız isteniyor. Bu tür bir fonksiyonun türevini alırken çarpım kuralını kullanmamız gerekir, çünkü fonksiyonumuz iki ayrı fonksiyonun çarpımı şeklindedir.
- Çarpım Kuralını Hatırlayalım: Eğer bir $h(x)$ fonksiyonu, $f(x)$ ve $k(x)$ gibi iki farklı fonksiyonun çarpımı şeklinde, yani $h(x) = f(x) \cdot k(x)$ olarak verilmişse, türevi şu şekilde bulunur: $h'(x) = f'(x) \cdot k(x) + f(x) \cdot k'(x)$.
- Fonksiyonlarımızı Tanımlayalım: Bizim $g(x) = x \cdot \cot(x)$ fonksiyonumuzda, birinci fonksiyon $f(x) = x$ ve ikinci fonksiyon $k(x) = \cot(x)$ olarak düşünebiliriz.
- $f(x)$ Fonksiyonunun Türevini Bulalım: $f(x) = x$ fonksiyonunun türevi $f'(x) = \frac{d}{dx}(x) = 1$'dir. Bu oldukça temel bir türev kuralıdır.
- $k(x)$ Fonksiyonunun Türevini Bulalım: $k(x) = \cot(x)$ fonksiyonunun türevi $k'(x) = \frac{d}{dx}(\cot(x)) = -\csc^2(x)$'dir. Bu, trigonometrik türev kurallarından biridir ve bu tür soruları çözerken ezbere bilinmesi önemlidir.
- Çarpım Kuralını Uygulayalım: Şimdi bulduğumuz bu türevleri ve orijinal fonksiyonları çarpım kuralı formülüne yerleştirelim:
$g'(x) = f'(x) \cdot k(x) + f(x) \cdot k'(x)$
$g'(x) = (1) \cdot (\cot(x)) + (x) \cdot (-\csc^2(x))$
- İfadeyi Sadeleştirelim: Son olarak, bulduğumuz ifadeyi daha anlaşılır bir şekilde düzenleyelim:
$g'(x) = \cot(x) - x \csc^2(x)$
Bu sonuç, seçenekler arasında A seçeneği ile tamamen eşleşmektedir.
Cevap A seçeneğidir.
