Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, bileşke fonksiyonların türevini alırken kullandığımız Zincir Kuralı'nı pekiştireceğimiz güzel bir soru çözeceğiz. Fonksiyonumuz $h(x) = \cot(\ln x)$ ve bizden $h'(x)$'i bulmamız isteniyor. Hadi adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: Fonksiyonu Tanıyalım ve Türev Alma Kuralını Belirleyelim.
- Bize verilen fonksiyon $h(x) = \cot(\ln x)$'tir. Bu fonksiyon, bir fonksiyonun içine başka bir fonksiyonun yerleştirilmesiyle oluşmuş bir bileşke fonksiyondur.
- Bileşke fonksiyonların türevini alırken **Zincir Kuralı**'nı kullanırız. Zincir Kuralı der ki: Eğer $y = f(g(x))$ ise, $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$'tir. Yani, önce dıştaki fonksiyonun türevini alıp içteki fonksiyonu aynen bırakırız, sonra da içteki fonksiyonun türevini alırız ve bu iki sonucu çarparız.
- Adım 2: İç ve Dış Fonksiyonları Ayıralım.
- Fonksiyonumuz $h(x) = \cot(\ln x)$'i daha kolay türev alabilmek için iki parçaya ayıralım:
- Dış fonksiyon (outer function): $f(u) = \cot(u)$
- İç fonksiyon (inner function): $u(x) = \ln x$
- Adım 3: Dış Fonksiyonun Türevini Alalım.
- Dış fonksiyonumuz $f(u) = \cot(u)$ idi. Trigonometrik fonksiyonların türev kurallarını hatırlayalım:
- $\frac{d}{du}(\cot u) = -\csc^2 u$
- Yani, $f'(u) = -\csc^2 u$.
- Adım 4: İç Fonksiyonun Türevini Alalım.
- İç fonksiyonumuz $u(x) = \ln x$ idi. Logaritmik fonksiyonların türevini hatırlayalım:
- $\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$
- Yani, $u'(x) = \frac{1}{x}$.
- Adım 5: Zincir Kuralını Uygulayalım.
- Şimdi Zincir Kuralı formülünü kullanalım: $h'(x) = f'(u(x)) \cdot u'(x)$.
- $f'(u)$ ifadesinde $u$ yerine $\ln x$ yazarsak: $f'(\ln x) = -\csc^2(\ln x)$.
- $u'(x)$ ise $\frac{1}{x}$'tir.
- Bu iki ifadeyi çarparsak, $h'(x)$'i buluruz:
- $h'(x) = (-\csc^2(\ln x)) \cdot \left(\frac{1}{x}\right)$
- $h'(x) = -\frac{\csc^2(\ln x)}{x}$
Bulduğumuz sonuç seçeneklerle karşılaştırıldığında A seçeneği ile eşleşmektedir.
Cevap A seçeneğidir.
