Bir öğrenci \( 2^3 \cdot 2^4 \) işlemini \( 2^{3 \cdot 4} = 2^{12} \) şeklinde çözüyor. Bu öğrencinin yaptığı hata aşağıdaki kurallardan hangisini yanlış uygulamasından kaynaklanmaktadır?
A) Tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılırken üsler toplanır
B) Tabanları aynı olan üslü sayılar bölünürken üsler çıkarılır
C) Üslü bir sayının kuvveti alınırken üsler çarpılır
D) Üsler toplanırken tabanlar çarpılır
Sevgili öğrenciler,
Bu soruda, üslü sayılarla ilgili temel kurallardan birini karıştırmış bir öğrencinin hatasını inceleyeceğiz. Bu hatayı anlayarak, üslü sayılar konusundaki bilgimizi daha da sağlamlaştırabiliriz.
- Öğrenci, $2^3 \cdot 2^4$ işlemini yaparken $2^{3 \cdot 4} = 2^{12}$ sonucunu bulmuştur.
- Öncelikle, tabanları aynı olan üslü sayıları çarparken hangi kuralı kullanmamız gerektiğini hatırlayalım: Tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılırken üsler toplanır. Yani, genel kural $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ şeklindedir.
- Bu kuralı $2^3 \cdot 2^4$ işlemine uyguladığımızda doğru sonuç $2^{3+4} = 2^7$ olmalıdır.
- Şimdi öğrencinin yaptığı işleme bakalım: Öğrenci üsleri ($3$ ve $4$) çarparak $2^{12}$ sonucunu elde etmiştir. Üslerin çarpıldığı başka bir üslü sayı kuralı vardır. Bu kural, üslü bir sayının tekrar kuvveti alınırken kullanılır. Yani, $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ kuralında üsler çarpılır. Örneğin, $(2^3)^4$ işlemi olsaydı, o zaman $2^{3 \cdot 4} = 2^{12}$ doğru bir sonuç olurdu.
- Öğrenci, $2^3 \cdot 2^4$ çarpma işleminde, aslında $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ kuralını (yani üslü bir sayının kuvveti alınırken üslerin çarpılması kuralını) yanlışlıkla uygulamıştır.
- Şimdi seçenekleri inceleyelim:
- A) Tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılırken üsler toplanır: Bu, öğrencinin uygulaması gereken doğru kuraldı. Öğrenci bu kuralı uygulamadığı için hata yapmıştır, ancak hata bu kuralı yanlış uygulamak değil, başka bir kuralı yanlış yerde uygulamaktır.
- B) Tabanları aynı olan üslü sayılar bölünürken üsler çıkarılır: Bu kural, sorudaki işlemle ilgili değildir.
- C) Üslü bir sayının kuvveti alınırken üsler çarpılır: Öğrencinin yaptığı hata tam olarak bu kuralı yanlış yerde uygulamasıdır. Öğrenci, $2^3 \cdot 2^4$ çarpma işleminde, üslü bir sayının kuvveti alınırken kullanılan üsleri çarpma kuralını (yani $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ kuralını) yanlışlıkla uygulamıştır. Bu kuralı yanlış bağlamda kullanmıştır.
- D) Üsler toplanırken tabanlar çarpılır: Böyle bir kural matematiksel olarak doğru değildir ve sorudaki hatayla doğrudan ilgili değildir.
- Sonuç olarak, öğrenci $2^3 \cdot 2^4$ çarpma işleminde, üslü bir sayının kuvveti alınırken kullanılan üsleri çarpma kuralını yanlışlıkla uygulamıştır.
Cevap C seçeneğidir.
