Modern mantık test çöz AYT Test 1

p ↔ q önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir?

A) (p → q) ∧ (q → p)
B) (p ∨ q) ∧ (¬p ∨ ¬q)
C) (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q)
D) ¬(p ∨ q)
E) p ∧ q

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, mantıkta sıkça karşılaştığımız "$p \leftrightarrow q$" (p ancak ve ancak q) önermesinin hangi ifadeye denk olduğunu bulmamız isteniyor. Mantıkta iki önermenin denk olması, her durumda aynı doğruluk değerine sahip olmaları anlamına gelir. Bu tür soruları çözmenin en etkili yollarından biri doğruluk tablolarını kullanmaktır.

Şimdi adım adım çözümümüze geçelim:

• 1. Adım: "$p \leftrightarrow q$" Önermesinin Anlamı ve Doğruluk Tablosu

  "$p \leftrightarrow q$" önermesi, "$p$ ancak ve ancak $q$" şeklinde okunur. Bu önerme, $p$ ve $q$ önermelerinin doğruluk değerleri aynı olduğunda (ikisi de doğru veya ikisi de yanlış olduğunda) doğru; doğruluk değerleri farklı olduğunda (biri doğru diğeri yanlış olduğunda) ise yanlış olur.

  Doğruluk tablosunu oluşturalım (D: Doğru, Y: Yanlış):

  • $p$ doğru (D), $q$ doğru (D) ise, $p \leftrightarrow q$ doğrudur (D).
  • $p$ doğru (D), $q$ yanlış (Y) ise, $p \leftrightarrow q$ yanlıştır (Y).
  • $p$ yanlış (Y), $q$ doğru (D) ise, $p \leftrightarrow q$ yanlıştır (Y).
  • $p$ yanlış (Y), $q$ yanlış (Y) ise, $p \leftrightarrow q$ doğrudur (D).

  Yani, "$p \leftrightarrow q$" önermesinin doğruluk değerleri sırasıyla D, Y, Y, D şeklindedir.

• 2. Adım: A Seçeneğindeki Önermenin Doğruluk Tablosunu Oluşturma

  A seçeneği, "$(p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow p)$" önermesidir. Bu önermenin doğruluk tablosunu adım adım oluşturalım:

  • Önce "$p \rightarrow q$" (p ise q) önermesi:

    Bu önerme, $p$ doğru iken $q$ yanlış olduğunda yanlış, diğer tüm durumlarda doğrudur.

    • $p$ doğru (D), $q$ doğru (D) ise, $p \rightarrow q$ doğrudur (D).
    • $p$ doğru (D), $q$ yanlış (Y) ise, $p \rightarrow q$ yanlıştır (Y).
    • $p$ yanlış (Y), $q$ doğru (D) ise, $p \rightarrow q$ doğrudur (D).
    • $p$ yanlış (Y), $q$ yanlış (Y) ise, $p \rightarrow q$ doğrudur (D).

    Yani, "$p \rightarrow q$" önermesinin doğruluk değerleri sırasıyla D, Y, D, D şeklindedir.

  • Şimdi "$q \rightarrow p$" (q ise p) önermesi:

    Bu önerme, $q$ doğru iken $p$ yanlış olduğunda yanlış, diğer tüm durumlarda doğrudur.

    • $p$ doğru (D), $q$ doğru (D) ise, $q \rightarrow p$ doğrudur (D).
    • $p$ doğru (D), $q$ yanlış (Y) ise, $q \rightarrow p$ doğrudur (D).
    • $p$ yanlış (Y), $q$ doğru (D) ise, $q \rightarrow p$ yanlıştır (Y).
    • $p$ yanlış (Y), $q$ yanlış (Y) ise, $q \rightarrow p$ doğrudur (D).

    Yani, "$q \rightarrow p$" önermesinin doğruluk değerleri sırasıyla D, D, Y, D şeklindedir.

  • Son olarak, "$(p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow p)$" önermesi:

    "$\wedge$" (ve) bağlacı, her iki önerme de doğru olduğunda doğru, diğer tüm durumlarda yanlıştır. Şimdi "$p \rightarrow q$" ve "$q \rightarrow p$" önermelerinin doğruluk değerlerini karşılaştırarak sonuca ulaşalım:

    • $p \rightarrow q$ (D) ve $q \rightarrow p$ (D) ise, $(p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow p)$ doğrudur (D).
    • $p \rightarrow q$ (Y) ve $q \rightarrow p$ (D) ise, $(p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow p)$ yanlıştır (Y).
    • $p \rightarrow q$ (D) ve $q \rightarrow p$ (Y) ise, $(p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow p)$ yanlıştır (Y).
    • $p \rightarrow q$ (D) ve $q \rightarrow p$ (D) ise, $(p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow p)$ doğrudur (D).

    Yani, "$(p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow p)$" önermesinin doğruluk değerleri sırasıyla D, Y, Y, D şeklindedir.

• 3. Adım: Karşılaştırma ve Sonuç

  Şimdi "$p \leftrightarrow q$" önermesinin doğruluk değerleri ile A seçeneğindeki "$(p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow p)$" önermesinin doğruluk değerlerini karşılaştıralım:

  • $p \leftrightarrow q$: D, Y, Y, D
  • $(p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow p)$: D, Y, Y, D

  Gördüğümüz gibi, her iki önermenin doğruluk değerleri tüm durumlar için tamamen aynıdır. Bu da onların denk olduğunu gösterir.

Cevap A seçeneğidir.