Homojen trigonometrik denklemler Test 1

sin²x - 2sinxcosx + cos²x = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?

A) {x | x = π/4 + kπ, k ∈ Z}
B) {x | x = π/2 + kπ, k ∈ Z}
C) {x | x = kπ, k ∈ Z}
D) {x | x = π/4 + 2kπ, k ∈ Z}

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir trigonometrik denklemin çözüm kümesini bulacağız. Adım adım ilerleyerek bu denklemi nasıl çözeceğimizi görelim.

• Adım 1: Denklemi Tanıma ve Özdeşlik Kullanma

  Verilen denklem $sin^2x - 2sinxcosx + cos^2x = 0$ şeklindedir. Bu ifade, bildiğimiz bir cebirsel özdeşliği anımsatıyor: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

  Burada $a = sinx$ ve $b = cosx$ olarak düşünebiliriz. Bu durumda, denklemin sol tarafı $(sinx - cosx)^2$ şeklinde yazılabilir.

• Adım 2: Denklemi Yeniden Yazma

  Denklemi özdeşliği kullanarak yeniden yazarsak:

  $(sinx - cosx)^2 = 0$

• Adım 3: Karekök Alma

  Bir ifadenin karesi sıfıra eşitse, o ifadenin kendisi de sıfıra eşit olmalıdır. Yani:

  $sinx - cosx = 0$

• Adım 4: Terimleri Ayırma

  $cosx$ terimini denklemin sağ tarafına atalım:

  $sinx = cosx$

• Adım 5: Tanjant Fonksiyonuna Dönüştürme

  Eğer $cosx \neq 0$ ise (ki $sinx = cosx$ durumunda $cosx=0$ olamaz, çünkü o zaman $sinx=0$ olurdu ve $sin^2x+cos^2x=1$ özdeşliği sağlanmazdı), denklemin her iki tarafını $cosx$'e bölebiliriz. Bu bize tanjant fonksiyonunu verecektir:

  $\frac{sinx}{cosx} = \frac{cosx}{cosx}$

  $tanx = 1$

• Adım 6: Genel Çözümü Bulma

  Hangi açının tanjantı $1$'e eşittir? Biliyoruz ki $tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.

  Tanjant denklemlerinin genel çözümü $tanx = tan\alpha$ ise $x = \alpha + k\pi$ şeklindedir, burada $k$ bir tam sayıdır ($k \in Z$).

  Bu durumda, $tanx = 1$ denkleminin genel çözümü:

  $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$, $k \in Z$

• Adım 7: Seçeneklerle Karşılaştırma

  Bulduğumuz çözüm kümesini seçeneklerle karşılaştırdığımızda, A seçeneğinin bizim çözümümüzle aynı olduğunu görürüz.

Cevap A seçeneğidir.