sin²x - cos²x = 0 denkleminin genel çözümü nedir?
A) {x | x = π/4 + kπ/2, k ∈ Z}
B) {x | x = kπ, k ∈ Z}
C) {x | x = π/2 + kπ, k ∈ Z}
D) {x | x = π/4 + kπ, k ∈ Z}
Bu soruda $sin^2x - cos^2x = 0$ denkleminin genel çözümünü bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
- Verilen denklem $sin^2x - cos^2x = 0$ şeklindedir.
- Bu denklemi daha kolay çözebilmek için trigonometrik özdeşliklerden faydalanabiliriz.
- $cos(2x)$ özdeşliğini hatırlayalım: $cos(2x) = cos^2x - sin^2x$.
- Denklemimizdeki ifade $sin^2x - cos^2x$ olduğundan, bu ifade $-(cos^2x - sin^2x)$ olarak yazılabilir.
- Yani, $sin^2x - cos^2x = - (cos^2x - sin^2x) = -cos(2x)$ olur.
- Denklemimiz şimdi $-cos(2x) = 0$ haline gelir.
- Her iki tarafı $-1$ ile çarparsak, $cos(2x) = 0$ denklemini elde ederiz.
- $cos(\theta) = 0$ denkleminin genel çözümü, $\theta$'nın $\frac{\pi}{2}$'nin tek katları olması durumunda gerçekleşir. Yani $\theta = \frac{\pi}{2} + k\pi$, burada $k \in Z$ (tam sayılar kümesi) şeklindedir.
- Bizim durumumuzda $\theta = 2x$ olduğundan, $2x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ yazabiliriz.
- Şimdi $x$'i yalnız bırakmak için denklemin her tarafını $2$'ye bölelim:
- $x = \frac{\frac{\pi}{2} + k\pi}{2}$
- Bu ifadeyi düzenlersek: $x = \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}$, burada $k \in Z$.
Bu, denklemin genel çözümüdür. İsterseniz, bu çözümü alternatif bir yolla da bulabiliriz:
- Denklemi $sin^2x = cos^2x$ şeklinde yazabiliriz.
- Her iki tarafın karekökünü alırsak, $|sinx| = |cosx|$ elde ederiz. Bu da $sinx = cosx$ veya $sinx = -cosx$ anlamına gelir.
- Eğer $sinx = cosx$ ise, $tanx = 1$ olur. Bu denklemin çözümü $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$'dir.
- Eğer $sinx = -cosx$ ise, $tanx = -1$ olur. Bu denklemin çözümü $x = \frac{3\pi}{4} + k\pi$'dir.
- Bu iki çözüm kümesini birleştirdiğimizde (yani $\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}, \dots$ gibi noktaları birim çember üzerinde düşündüğümüzde), her $\frac{\pi}{2}$'de bir çözüm noktası olduğunu görürüz.
- Bu birleşim, $x = \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}$ genel çözümünü verir.
Her iki çözüm yolu da aynı sonuca ulaştı. Bu çözüm, seçenek A'da verilen ifadeyle tamamen aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
